7.27 A intensidade de campo magnético é dada em certa região do espaço como
A/m. (a) Calcule
. (b) Calcule
. © Use
para encontrar a corrente total que passa pela superfície
,
, na direção
. (d) Mostre que o mesmo resultado é encontrado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 7.27 juntos! O enunciado nos dá um campo de intensidade magnética
definido em uma região do espaço e nos pede para realizar vários cálculos com ele. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (
), e entender como relacionar isso com a densidade de corrente
e a corrente total através de uma superfície. Preparado? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
. Vamos identificar os componentes:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
Como
não depende de
,
. Agora:
Portanto:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Juntando tudo, o rotacional de
fica:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): calcular a densidade de corrente
. Segundo a lei de Ampère, em unidades onde a permeabilidade magnética é 1, temos:
Portanto, a densidade de corrente é igual ao rotacional que calculamos:
Passo 6
Na parte ©, precisamos encontrar a corrente total que passa pela superfície
no intervalo
e
, na direção
. A corrente total
é dada pela integral da densidade de corrente
sobre a superfície
:
Como a superfície é no plano
,
, e apenas a componente
contribui, então:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Resposta
A corrente total que passa pela superfície é
A.