7.27 A intensidade de campo magnético é dada em certa região do espaço como nabla times H A/m. (a) Calcule J. (b) Calcule J. © Use z=4 para encontrar a corrente total que passa pela superfície 1 <= x <= 2,3 <= z <= 5, az, na direção . (d) Mostre que o mesmo resultado é encontrado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 7.27 juntos! O enunciado nos dá um campo de intensidade magnética H definido em uma região do espaço e nos pede para realizar vários cálculos com ele. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional ( nabla times H), e entender como relacionar isso com a densidade de corrente J e a corrente total através de uma superfície. Preparado? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de H, ou seja, nabla times H. O rotacional de um campo vetorial H = Hx ax + Hy ay + Hz az é dado por:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) ax + ( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) ay + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) az
No nosso caso, H = [x + 2yz^2] ay + [2z] az. Vamos identificar os componentes:
Hx = 0, Hy = x + 2yz^2, Hz = 2z

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente ax:
partial Hzpartial y - partial Hypartial z = partialpartial y(2z) - partialpartial z(x + 2yz^2)
Como Hz não depende de y, partial Hzpartial y = 0. Agora:
partial Hypartial z = partialpartial z(x + 2yz^2) = -2x + 2yz^3
Portanto:
0 - (-2x + 2yz^3) = 2x + 2yz^3
  1. Componente ay:
partial Hxpartial z - partial Hzpartial x = partialpartial z(0) - partialpartial x(2z) = 0 - 0 = 0
  1. Componente az:
partial Hypartial x - partial Hxpartial y = partialpartial x(x + 2yz^2) - partialpartial y(0) = 1z^2 - 0 = 1z^2

Passo 4

Juntando tudo, o rotacional de H fica:
nabla times H = 2x + 2yz^3 ax + 0 ay + 1z^2 az

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): calcular a densidade de corrente J. Segundo a lei de Ampère, em unidades onde a permeabilidade magnética é 1, temos:
nabla times H = J
Portanto, a densidade de corrente é igual ao rotacional que calculamos:
J = 2x + 2yz^3 ax + 1z^2 az

Passo 6

Na parte ©, precisamos encontrar a corrente total que passa pela superfície z = 4 no intervalo 1 <= x <= 2 e 3 <= y <= 5, na direção az. A corrente total I é dada pela integral da densidade de corrente J sobre a superfície S:
I = integral duplaS J cdot az , dS
Como a superfície é no plano z = 4, dS = dx , dy, e apenas a componente Jz contribui, então:
I = integralx=1^2 integraly=3^5 14^2 , dy , dx = integral1^2 integral3^5 116 , dy , dx

Passo 7

Vamos calcular a integral:
I = 116 integral1^2 [ y ]3^5 dx = 116 integral1^2 (5 - 3) , dx = 116 integral1^2 2 , dx = 216 integral1^2 dx = 18 (2 - 1) = 18

Resposta

A corrente total que passa pela superfície é 18 A.

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