7.13 & Por uma casca cilíndrica oca de raio a, centrada no eixo z, circula uma densidade superficial uniforme de corrente de Ka aphi. (a) Mostre que H não é uma função de phi ou z. (b) Mostre que Hphi e Hrho valem zero em todos os pontos. © Mostre que Hz=0 para rho>a. (d) Mostre que Hz=Ka para rho. (e) Por uma segunda casca, rho=b, circula uma corrente Kb aphi. Calcule H em todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca cilíndrica oca com raio $ a $, centrada no eixo $ z $, onde circula uma densidade superficial uniforme de corrente $ K_a \mathbf{a}_{\phi} $. Nosso objetivo é analisar o campo magnético $ \mathbf{H} $ gerado por essa corrente. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos magnéticos em simetrias cilíndricas e aplicar as leis de Ampère. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, queremos mostrar que o campo magnético $ \mathbf{H} $ não depende dos ângulos $ \phi $ nem da coordenada $ z $. Como a corrente está distribuída de forma uniforme na direção $ \phi $ e a casca é infinita ao longo do eixo $ z $, isso sugere uma simetria cilíndrica. Em sistemas com simetria cilíndrica, o campo geralmente depende apenas da distância radial $ \rho $ do eixo. Assim, $ H $ não varia com $ \phi $ ou $ z $.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que as componentes $ H_{\phi} $ e $ H_{\rho} $ do campo magnético são zero em todos os pontos. Devido à simetria cilíndrica e à uniformidade da corrente, não há preferências de direção nas direções $ \phi $ ou $ \rho $. Se existisse uma componente nessas direções, quebraria a simetria do problema. Portanto, só resta a componente ao longo do eixo $ z $, ou seja, $ H_z $.

Passo 4

Vamos calcular $ H_z $ para pontos fora da casca, ou seja, quando $ \rho > a $. Utilizando a lei de Ampère:
Hz
Escolhemos um caminho circular de raio $ \rho $. Como $ H_\rho = H_\phi = 0 $, a integral fica:
rho > a
Isolando $ H_z $:
oint H cdot dl = Ienc
No entanto, para $ \rho > a $, o campo devido a uma distribuição de corrente infinita nesse contexto específico resulta em $ H_z = 0 $, já que as correntes externas não contribuem para o campo dentro de uma casca infinita.

Passo 5

Agora, para pontos dentro da casca, ou seja, $ \rho < a $, aplicamos novamente a lei de Ampère. Como não há corrente dentro da casca (a casca é oca), o campo magnético interno é constante:
rho < a
Isso significa que dentro da casca, o campo magnético na direção $ z $ é igual à densidade de corrente superficial $ K_a $.

Passo 6

Por último, adicionamos uma segunda casca cilíndrica de raio $ b $ com uma corrente $ K_b \mathbf{a}_{\phi} $. Para calcular $ \mathbf{H} $ em todos os pontos, consideramos as duas contribuições:
  • Para $ \rho < a $: Apenas a primeira casca influencia, então $ H_z = K_a $.
  • Para $ a < \rho < b $: Ambas as correntes influenciam, mas como a segunda casca está fora, o campo é $ H_z = K_a $.
  • Para $ \rho > b $: As correntes das duas cascas se somam, então $ H_z = K_a + K_b $.

Resposta

Portanto, o campo magnético $ \mathbf{H} $ em todos os pontos é dado por:
H

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