Considere a equação em x e y :
k=k x^2+y^2
Para quais valores de k a equação representa uma elipe?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos a equação em x e y
k = kx^2 + y^2
e pergunta para quais valores de k ela representa uma elipse. Isso cai em “cônicas” (elipse, hipérbole, etc.). Pra resolver, a gente vai:
  1. reorganizar a equação,
  2. colocar na forma canônica de elipse,
  3. ver as condições (denominadores positivos) ou usar o discriminante pra garantir que é elipse.

Passo 2

Primeiro, bora botar tudo num lado só:
kx^2 + y^2 = k
Trocando de lado, ficou fácil de enxergar que é uma cônica do tipo Ax^2 + Cy^2 + F = 0, com A=k, C=1, F=-k.

Passo 3

Agora dividimos tudo por k (desde que kneq0):
kx^2k + y^2k ;=; kk Longrightarrow x^2 + y^2k = 1
A forma padrão da elipse é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
onde tanto a^2>0 quanto b^2>0. Aqui vemos que a^2=1>0 sempre e b^2=k. Logo precisa ter
k>0
Alternativamente, pelo critério do discriminante de Ax^2 + By^2 + dots =0, lembramos que é elipse se B^2-4AC<0. Como B=0, A=k, C=1, dá
0 - 4,(k)(1) < 0 ;Longrightarrow; -4k<0 ;Longrightarrow; k>0,
mesma conclusão.

Resposta

A equação representa uma elipse exatamente quando
boxedk>0

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