Considere a equação em
e
:
Para quais valores de
a equação representa uma elipe?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que temos a equação em x e y
e pergunta para quais valores de k ela representa uma elipse. Isso cai em “cônicas” (elipse, hipérbole, etc.). Pra resolver, a gente vai:
- reorganizar a equação,
- colocar na forma canônica de elipse,
- ver as condições (denominadores positivos) ou usar o discriminante pra garantir que é elipse.
Passo 2
Primeiro, bora botar tudo num lado só:
Trocando de lado, ficou fácil de enxergar que é uma cônica do tipo
, com
,
,
.
Passo 3
Agora dividimos tudo por k (desde que
):
A forma padrão da elipse é
onde tanto
quanto
. Aqui vemos que
sempre e
. Logo precisa ter
Alternativamente, pelo critério do discriminante de
, lembramos que é elipse se
. Como
,
,
, dá
mesma conclusão.
Resposta
A equação representa uma elipse exatamente quando