• 27 O módulo da força eletrostática entre dois íons iguais separados por uma distância de 5,0 \times 10^{-10} \mathrm{~m} é 3,7 \times 10^{-9} \mathrm{~N}. (a) Qual é a carga de cada íon? (b) Quantos elétrons estão “faltando” em cada íon (fazendo, assim, com que o íon possua uma carga elétrica diferente de zero)?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes valores diretamente do enunciado):
  • Módulo da força eletrostática: F = 3,7\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
  • Distância entre os íons: r = 5,0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Qual é a carga de cada íon?
(b) Quantos elétrons estão “faltando” em cada íon (isto é, qual é o número inteiro de cargas elementares que corresponde à carga do íon)?

Passo 2

Lembra da lei de Coulomb (vai ser a ferramenta principal aqui). Ela diz que a força eletrostática (módulo) entre duas cargas puntiformes é
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • F é o módulo da força (em newtons),
  • k é a constante eletrostática no vácuo, valendo aproximadamente k = 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}C^{-2}},
  • q_1 e q_2 são as cargas (em coulombs),
  • r é a distância entre as cargas (em metros).
Aqui as cargas dos dois íons são iguais em módulo, então podemos colocar q_1=q_2=q. Assim a fórmula fica
F = k\,\frac{q^{2}}{r^{2}}.
Queremos isolar q. Isso é só álgebra básica: multiplicar ambos os lados por r^{2}, dividir por k e tirar raiz quadrada:
q = \sqrt{\dfrac{F\,r^{2}}{k}}.

Passo 3

Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos (mostrando os cálculos de forma que dê para fazer na prova sem calculadora programada demais).
Calcular r^{2}:
r^{2} = \left(5,0\times10^{-10}\right)^{2} = 25\times10^{-20} = 2,5\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcular F\,r^{2}:
F\,r^{2} = \left(3,7\times10^{-9}\right)\left(2,5\times10^{-19}\right) = 3,7\cdot2,5\times10^{-28} = 9,25\times10^{-28}.
Dividir por k:
\frac{F\,r^{2}}{k} = \frac{9,25\times10^{-28}}{8,99\times10^{9}} = \frac{9,25}{8,99}\times10^{-37}.
Agora calcule \dfrac{9,25}{8,99}. Aproximando:
\frac{9,25}{8,99}\approx1,029.
Logo
\frac{F\,r^{2}}{k}\approx1,029\times10^{-37}.

Passo 4

Tirar raiz quadrada para obter q:
q = \sqrt{1,029\times10^{-37}} = \sqrt{1,029}\times10^{-18,5}.
Calculando \sqrt{1,029}\approx1,014 e lembrando que 10^{-18,5}=10^{-18}\times10^{-0,5}=10^{-18}\times0,3162277,
q \approx 1,014\times0,3162277\times10^{-18} \approx 0,3207\times10^{-18} = 3,21\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Considerando o número de algarismos significativos dos dados do enunciado (dois algarismos nos dados), é apropriado arredondar para duas casas significativas:
q \approx 3,2\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação do sinal da carga e relação com elétrons: se o íon está “faltando” elétrons, isso significa que o íon é positivo (cation) e a carga é positiva. Portanto a carga de cada íon é
q \approx +3,2\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Agora vamos transformar isso em número de elétrons faltando. A carga elementar (módulo da carga de um elétron) é
e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
O número de elétrons faltando (um número adimensional) é
n = \frac{|q|}{e} \approx \frac{3,21\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}} \approx 2,00.
Arredondando para o número inteiro mais próximo (porque elétrons são quantizados), obtemos n = 2. Ou seja, faltam dois elétrons em cada íon, correspondendo a uma carga de +2e.

Passo 6

Resumo físico e checagem rápida: a carga calculada em coulombs corresponde very bem a duas unidades elementares ( 2\times1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}=3,204\times10^{-19}\\ \mathrm{C}), compatível com o valor numérico encontrado 3,21\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Então a solução faz sentido físico: cada íon é um cátion com carga +2e.

Resposta

(a) q \approx +3,2\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
(b) 2 elétrons

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