QUESTÃO 1 - valor: 3,0 pontos

Considere as seguintes expressões:
\begin{aligned} & \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d V^{\prime} \\\ & \varphi(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} d V^{\prime} \\\ & \oint_{S} \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{S}=\frac{Q_{s}}{\epsilon_{0}} \\\ & \nabla^{2} \varphi=-\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_{0}} \end{aligned}
onde \rho é a densidade volumétrica de cargas livres, distribuída no volume V.
(a) É correto afirmar que estas quatro equações acima representam a Lei de Coulomb? Justifique;
(b) Discuta a origem destas expressões e/ou relações entre elas e interprete estas expressões;
(c) Na equação (2), normalmente se carrega uma constante de integração C. Em que condições essa constante pode ser assumida como sendo zero?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (copiados do enunciado):
\begin{aligned} & \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d V^{\prime} \\\ & \varphi(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} d V^{\prime} \\\ & \oint_{S} \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{S}=\frac{Q_{s}}{\epsilon_{0}} \\\ & \nabla^{2} \varphi=-\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_{0}} \end{aligned}
O enunciado pede três coisas:
(a) Dizer se essas quatro equações representam a Lei de Coulomb e justificar;
(b) Discutir a origem das expressões, as relações entre elas e interpretá‑las;
(c) Na equação da potencial (segunda), há uma constante de integração C. Em que condições essa constante pode ser assumida igual a zero?
Observação importante (sobre notação): a expressão usual para o campo elétrico produzido por uma distribuição volumétrica \rho(\vec r') é
\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\vec r-\vec r'}{|\vec r-\vec r'|^{3}}\,\rho(\vec r')\,dV',
isto é, o denominador leva a potência 3. Vou usar essa forma correta nos passos seguintes, pois é a forma física consistente com as demais equações.

Passo 2

O que é a Lei de Coulomb (forma pontual) e como ela leva às integrais para distribuições contínuas.
A Lei de Coulomb para duas cargas pontuais q em \vec r e q' em \vec r' afirma que a força sobre q devido a q' é
\vec{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q q'}{|\vec r-\vec r'|^{3}}(\vec r-\vec r').
Explicando cada símbolo: \epsilon_0 é a permissividade do vácuo; \vec r-\vec r' é o vetor que vai da carga fonte em \vec r' até o ponto de interesse \vec r; o fator 1/|\vec r-\vec r'|^{3} assegura que a magnitude varia como 1/r^{2} e a direção é radial.
Definindo o campo elétrico \vec E como força por unidade de carga de prova, para uma carga fonte q' temos
\vec{E}(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q'}{|\vec r-\vec r'|^{3}}(\vec r-\vec r').
Para uma distribuição contínua de cargas com densidade \rho(\vec r'), usa‑se superposição (somatório contínuo), substituindo q' por \rho(\vec r')\,dV' e integrando sobre o volume de carga:
\vec{E}(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\vec r-\vec r'}{|\vec r-\vec r'|^{3}}\,\rho(\vec r')\,dV'.
Portanto as expressões integrais para \vec E e \varphi são consequência direta da Lei de Coulomb mais o princípio de superposição.

Passo 3

Definição do potencial escalar \varphi e relação com \vec E.
O potencial elétrico \varphi(\vec r) é definido (em eletrostática) como o trabalho por unidade de carga para trazer uma carga de referência de um ponto de referência até \vec r. Uma forma prática é reconhecer que o campo de uma carga pontual q' tem potencial
\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q'}{|\vec r-\vec r'|}+C,
onde C é uma constante de integração (escolha de referência). Para uma densidade contínua, pela superposição:
\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|}\,dV' + C.
A relação entre \varphi e \vec E em regimes eletrostáticos é
\vec E(\vec r)=-\nabla\varphi(\vec r).
Mostro por que isso é consistente com as integrais: aplicar -\nabla na expressão integral de \varphi com relação a \vec r (o operador diferencial atua sobre 1/|\vec r-\vec r'|) dá, usando a derivada de 1/r,
-\nabla_{\vec r}\left(\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}\right)=\frac{\vec r-\vec r'}{|\vec r-\vec r'|^{3}},
e então se recupera exatamente a fórmula integral para \vec E. Aqui explicando a operação: \nabla_{\vec r} significa derivar em relação ao ponto onde o campo é calculado; \vec r' é integração (variável de fonte) e é tratada como constante para essa derivada.

Passo 4

Derivando a equação de Poisson \nabla^{2}\varphi=-\rho/\epsilon_0 a partir da expressão integral do potencial.
Existe a identidade (distribucional)
\nabla_{\vec r}^{2}\left(\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}\right)=-4\pi\,\delta(\vec r-\vec r'),
onde \delta é a delta de Dirac (função que é zero fora do argumento nulo e integra 1). Intuição simples: a função 1/|\vec r-\vec r'| é solução da equação de Laplace fora de \vec r=\vec r', mas tem singularidade integrável cuja Laplaciana produz a delta. Aplicando \nabla^{2} na expressão integral de \varphi e trocando ordem de integral e diferencial (válido sob hipóteses usuais de suavidade),
\nabla^{2}\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \rho(\vec r')\,\nabla_{\vec r}^{2}\left(\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}\right)\,dV'.
Usando a identidade acima:
\nabla^{2}\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \rho(\vec r')\left(-4\pi\delta(\vec r-\vec r')\right)dV'=-\frac{\rho(\vec r)}{\epsilon_0}.
Isto mostra claramente de onde vem a equação de Poisson: é a forma local (diferencial) da relação entre potencial e densidade de carga.

Passo 5

Obtendo a Lei de Gauss (forma integral) a partir da expressão diferencial e interpretando fisicamente.
A equação diferencial equivalente à anterior para o campo é
\nabla\cdot\vec E(\vec r)=\frac{\rho(\vec r)}{\epsilon_0}.
Isto vem de \vec E=-\nabla\varphi e da Poisson. Aplicando o teorema da divergência (teorema de Gauss) a um volume V com superfície S,
\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\int_{V}\nabla\cdot\vec E\,dV=\frac{1}{\epsilon_0}\int_{V}\rho\,dV=\frac{Q_s}{\epsilon_0},
onde Q_s é a carga total contida no volume V. A interpretação física: o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga interna; é uma forma global da mesma informação dada localmente por \nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0.

Passo 6

Resposta à pergunta (a): essas quatro equações representam a Lei de Coulomb?
Resposta curta explicando e justificando:
  • A expressão integral para \vec E(\vec r) e a expressão integral para \varphi(\vec r) (com o fator correto 1/|\vec r-\vec r'|^{3} no caso de \vec E) são diretamente obtidas aplicando a Lei de Coulomb para cargas pontuais e usando o princípio da superposição para uma densidade contínua \rho(\vec r'). Logo essas duas são formas integrais da Lei de Coulomb para distribuições contínuas.
  • A Lei de Gauss (forma integral \oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=Q_s/\epsilon_0) e a equação de Poisson (forma diferencial \nabla^{2}\varphi=-\rho/\epsilon_0) são matematicamente equivalentes às expressões integrais acima sob as hipóteses da eletrostática (campos não dependem do tempo, superposição válida, mediate permittividade constante). Portanto todas as quatro expressões são manifestações equivalentes da mesma física eletrostática que tem sua origem na Lei de Coulomb (com as hipóteses padrão).
  • Observação importante: essa equivalência vale em eletrostática (regime sem variação temporal de campos). Em eletrodinâmica completa (campos variando no tempo, correntes variáveis), a expressão instantânea integrale tipo Coulomb para \varphi e \vec E não é válida; é preciso usar potenciais retardados (equações de Jefimenko). Portanto as quatro equações representam a Lei de Coulomb na situação eletrostática.

Passo 7

Interpretação física e relações entre as expressões (recapitulando de modo prático, útil para prova).
  • Superposição: cada elemento de carga \rho(\vec r')dV' contribui com um campo elementar igual à Lei de Coulomb; as integrais somam essas contribuições. Isso explica intuitivamente a expressão integral de \vec E.
  • Potencial \varphi: é uma grandeza escalar mais prática em muitos problemas, pois \vec E é obtido por \vec E=-\nabla\varphi; como \varphi soma as contribuições escalares 1/|\vec r-\vec r'|, a integral é mais simples de manipular do que trabalhar diretamente com vetores em alguns casos.
  • Poisson e Laplace: aplicar a Laplaciana ao potencial transforma a integral numa relação local com \rho (via a delta), obtendo Poisson. Fora das regiões com carga ( \rho=0), tem‑se \nabla^{2}\varphi=0 (equação de Laplace). Essas equações são úteis porque transformam um problema integral em um problema diferencial com condicionantes de contorno — às vezes mais fácil de resolver com técnicas analíticas.
  • Lei de Gauss: útil quando há simetrias (esférica, cilíndrica, planar) — permite obter \vec E sem integrar explicitamente, bastando considerar fluxo e carga encerrada. Em provas, tente sempre reconhecer simetrias para aplicar Gauss.
  • Limitações: se o problema tem dependência temporal ou meios não lineares/anisotrópicos, algumas relações mudam; e na presença de condutores em movimento ou correntes, é preciso ter cuidado.

Passo 8

Quando a constante C no potencial pode ser tomada como zero — resposta para (c) com justificativa prática e exemplos.
  • Natureza da constante C: o potencial \varphi é definido apenas até uma constante aditiva; apenas diferenças de potencial têm significado físico (trabalho entre dois pontos). Assim C é uma liberdade (gauge) e não altera \vec E porque -\nabla C=0.
  • Condições em que podemos escolher C=0:
    1. Se a distribuição de cargas é localizada (totalmente contida num volume finito) e se exigirmos a condição de fronteira natural \varphi(\vec r)\to 0 quando |\vec r|\to\infty, então isso fixa o valor da constante e normalmente leva a C=0 na expressão integral (ou seja, escolhe‑se a referência do potencial no infinito). Exemplo clássico: potencial de uma carga pontual q é \varphi(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{|\vec r|}, tomando C=0 para que \varphi\to 0 no infinito.
    2. Se o problema impõe uma condição de contorno (por exemplo, em problemas com condutores, pode‑se fixar a potencial de uma superfície como zero) então essa escolha fixa C. Em problemas de contorno, escolher C para satisfazer a condição é obrigatório.
  • Quando não se pode simplesmente tomar C=0:
    1. Para distribuições não localizadas (por exemplo, um fio infinito com densidade linear constante, ou uma folha infinita), o potencial geralmente diverge ou não tende a zero no infinito; não existe uma escolha natural que torne \varphi\to 0 em infinito, então não é possível (ou não faz sentido) definir C=0 globalmente — aí escolhe‑se uma referência de potencial conveniente (por exemplo, fixar \varphi=0 em algum ponto).
    2. Em problemas periódicos ou com condições de contorno que exigem outro valor, a escolha C=0 pode não satisfazer as condições físicas.
  • Resumo prático: pode‑se assumir C=0 sempre que for possível escolher a referência de potencial para que \varphi tenda a zero no infinito (caso de cargas localizadas) ou quando alguma condição de contorno fixa o potencial em zero. Caso contrário, mantenha C e use condições de contorno/physicalidade para determiná‑lo.

Passo 9

Observações finais úteis para prova (motivação prática e dicas):
  • Para problemas de prova: identifique se o enunciado está em regime eletrostático. Se sim, pode usar as formas integrais, Gauss e Poisson. Se houver dependência temporal (correntes variáveis), lembre‑se de que as expressões instantâneas deixam de ser válidas e aparecem potenciais retardados.
  • Técnica: ao ver \rho(\vec r') definida em um volume e pedir \vec E ou \varphi, pense se há simetria — se houver, tente usar a Lei de Gauss; caso seja uma distribuição complicada, escreva a integral e tente coordenadas adequadas.
  • Lembrete físico reconfortante: somente diferenças de potencial importam; o número C é uma escolha de referência — isso simplifica muita conta em prova porque normalmente se pode escolher a referência conveniente.

Resposta

(a) Sim, com justificativa: as expressões integrais para \vec E e \varphi (com o denominador correto |\vec r-\vec r'|^{3} no caso de \vec E) são a forma contínua da Lei de Coulomb via superposição; a Lei de Gauss e a equação de Poisson são formas integral e diferencial equivalentes válidas em eletrostática; todas expressam a mesma física desde que o campo seja eletrostático.
(b) Origem e relações: a expressão para \vec E vem da Lei de Coulomb ponto a ponto somada por superposição; \varphi é o potencial escalar cujo gradiente negativo dá \vec E; aplicando a Laplaciana ao potencial usando \nabla^{2}(1/|\vec r-\vec r'|)=-4\pi\delta(\vec r-\vec r') obtém‑se a equação de Poisson \nabla^{2}\varphi=-\rho/\epsilon_0; aplicando o teorema da divergência a \nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0 obtém‑se a Lei de Gauss \oint_S\vec E\cdot d\vec S=Q_s/\epsilon_0. Essas quatro fórmulas são, portanto, formas equivalentes e interpretáveis como superposição, potencial e conservação de fluxo elétrico (com a ressalva de que valem no regime eletrostático).
(c) A constante C pode ser tomada como zero sempre que for possível escolher a referência do potencial de modo conveniente — tipicamente quando a distribuição de carga é localizada e se exige \varphi(\vec r)\to 0 para |\vec r|\to\infty, ou quando uma condição de contorno fixa o potencial zero numa superfície. Não se pode simplesmente forçar C=0 quando a distribuição é infinita ou quando as condições de contorno exigem outro valor; nesses casos mantém‑se C e determina‑se por condições físicas.

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