• 15 As cargas e coordenadas de duas partículas mantidas fixas no plano x y são q_{1}=+3,0 \mu \mathrm{C}, x_{1}=3,5 \mathrm{cm}, y_{1}=0,50 \mathrm{~cm} e q_{2}=-4,0 \mu \mathrm{C}, x_{2}=-2,0 \mathrm{~cm}, y_{2}=1,5 \mathrm{~cm}. Determine
    a coordenada y de uma terceira partícula de carga q_{3}=+4,0 \mu \mathrm{C} para que a força exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
  • Carga da partícula 1: q_{1}=+3{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
  • Coordenadas da partícula 1: x_{1}=3{,}5\\ \mathrm{cm}, y_{1}=0{,}50\\ \mathrm{cm}.
  • Carga da partícula 2: q_{2}=-4{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
  • Coordenadas da partícula 2: x_{2}=-2{,}0\\ \mathrm{cm}, y_{2}=1{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Carga da partícula 3: q_{3}=+4{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
    O enunciado pede: determinar a coordenada y da partícula 3 para que a força resultante sobre ela, causada pelas partículas 1 e 2, seja nula.
Observação importante sobre a informação que falta: o enunciado só pede a coordenada y, não dá x_{3}. Isso indica que a posição de equilíbrio, se existir, está totalmente determinada geometricamente pelos dados (isto é, é suficiente encontrar y do ponto de equilíbrio). Vou, portanto, procurar o ponto no plano onde a força total sobre q_{3} é zero — isso dará tanto x_{3} quanto y_{3}; depois eu declaro a coordenada y pedida.

Passo 2

Lei de Coulomb vetorial (a versão que vamos usar) e explicação:
  • A força elétrica exercida pela carga q_{i} sobre q_{3} é, em forma vetorial,
\mathbf{F}_{i\to 3}=k\,q_{i}q_{3}\,\frac{\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{i}}{\lVert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{i}\rVert^{3}}.
Aqui:
  • k é a constante eletrostática ( k não precisa ser numérica para nosso cálculo porque irá se cancelar).
  • \mathbf{r}_{i}=(x_{i},y_{i}) é o vetor posição da carga i.
  • \mathbf{r}_{3}=(x_{3},y_{3}) é o vetor posição da carga 3 (aqui y_{3} é o que queremos).
  • \lVert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{i}\rVert é a distância entre as cargas i e 3.
  • A condição de equilíbrio (força resultante nula) é
\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}=\mathbf{0}.
Substituindo a expressão de Coulomb e dividindo por k\,q_{3} (que é não nulo) obtemos a equação vetorial conveniente:
q_{1}\,\frac{\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}}{\lVert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\rVert^{3}} +q_{2}\,\frac{\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}}{\lVert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\rVert^{3}}=\mathbf{0}.

Passo 3

Consequência vetorial útil (interpretação geométrica):
  • A equação vetorial acima implica que os vetores \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2} são paralelos (ou antiparalelos). Por quê? Porque a combinação linear com escalares (números) desses dois vetores dá zero; para isso ser possível (com os escalares não nulos q_{1} e q_{2}), os dois vetores devem ser colineares.
  • Portanto, o ponto de equilíbrio \mathbf{r}_{3} deve estar sobre a reta que passa por \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2}. Isso reduz o problema a um unidimensional ao longo dessa reta.

Passo 4

Parametrização do ponto \mathbf{r}_{3} sobre a reta que liga 1 e 2:
  • Defino o vetor \mathbf{d}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}.
  • Todo ponto na reta pode ser escrito como
\mathbf{r}_{3}=\mathbf{r}_{1}+t\,\mathbf{d},
onde t é um número real. Interpretação:
  • t=0 \mathbf{r}_{3}=\mathbf{r}_{1}.
  • t=1 \mathbf{r}_{3}=\mathbf{r}_{2}.
  • t<0 está na extensão da reta além de \mathbf{r}_{1} no sentido oposto a \mathbf{r}_{2}.
  • t>1 está além de \mathbf{r}_{2}.

Passo 5

Redução da equação vetorial a uma equação escalar em t:
  • Substituindo \mathbf{r}_{3}=\mathbf{r}_{1}+t\mathbf{d} na condição de equilíbrio obtemos (mostro só os passos essenciais):
q_{1}\,\frac{t\mathbf{d}}{|t|^{3}\,\lVert\mathbf{d}\rVert^{3}}+q_{2}\,\frac{(t-1)\mathbf{d}}{|t-1|^{3}\,\lVert\mathbf{d}\rVert^{3}}=\mathbf{0}.
  • Fator comum \mathbf{d}/\lVert\mathbf{d}\rVert^{3} não é o vetor nulo (as partículas 1 e 2 são distintas), então ele pode ser eliminado, sobrando a equação escalar
q_{1}\,\frac{t}{|t|^{3}}+q_{2}\,\frac{t-1}{|t-1|^{3}}=0.
  • Para trabalhar de forma mais simples com magnitudes, uma forma equivalente útil é igualar as magnitudes das forças (pois estão na mesma reta). Assim, impondo igualdade de módulos das intensidades:
\frac{|q_{1}|}{d_{1}^{2}}=\frac{|q_{2}|}{d_{2}^{2}},
onde d_{1}=\lVert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\rVert=|t|\,\lVert\mathbf{d}\rVert e d_{2}=\lVert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\rVert=|t-1|\,\lVert\mathbf{d}\rVert.
  • Substituindo q_{1}=+3{,}0 (em unidades relativas, \mu\mathrm{C} cancela) e |q_{2}|=4{,}0 obtemos
\frac{3}{t^{2}}=\frac{4}{(1-t)^{2}},
onde, para obter essa forma, considerei a situação de sinais que permite forças opostas (depois verificarei qual raiz é aceitável). Note que a equação acima resulta de igualar os quadrados das distâncias, o que dá uma equação algébrica fácil de resolver.

Passo 6

Resolução da equação algébrica para t:
  • Partindo de
\frac{3}{t^{2}}=\frac{4}{(1-t)^{2}}
multiplico cruzado:
4t^{2}=3(1-t)^{2}.
  • Desenvolvendo:
4t^{2}=3(1-2t+t^{2})=3-6t+3t^{2}.
  • Reunindo termos:
4t^{2}-3t^{2}+6t-3=0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}+6t-3=0.
  • Resolve-se a quadrática:
t=\frac{-6\pm\sqrt{36+12}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{48}}{2}=-3\pm2\sqrt{3}.
  • Valores numéricos:
    • t_{1}=-3+2\sqrt{3}\approx -3+3{,}464=0{,}464.
    • t_{2}=-3-2\sqrt{3}\approx -6{,}464.

Passo 7

Escolha da solução física (verificando sinais/direções):
  • Temos duas soluções de módulo que igualam as intensidades, mas devemos checar qual delas satisfaz a equação vetorial original (direções das forças).
  • Se t estiver entre 0 e 1 ( t_{1}\approx0{,}464), então os dois vetores contribuintes de força apontam para o mesmo sentido (ambas as parcelas da soma vetorial têm o mesmo sinal longitudinal), então a soma não pode ser zero. Logo t_{1} não satisfaz a equação vetorial vetorial (é uma solução extrínseca da igualdade de módulos).
  • Se t<0 ( t_{2}\approx-6{,}464), as direções ficam opostas de modo que as forças podem se cancelar e, nesse caso, a verificação confirma que t_{2} é a solução física válida.
  • Portanto tomamos
t=-3-2\sqrt{3}\approx -6{,}4641016\ldots

Passo 8

Cálculo das coordenadas numéricas do ponto de equilíbrio e extração de y:
  • Primeiro converto as coordenadas dadas para metros (ou posso trabalhar em cm; vou usar metros e depois volto a cm):
    • \mathbf{r}_{1}=(x_{1},y_{1})=(0{,}035\\ \mathrm{m},\\\ 0{,}005\\ \mathrm{m}).
    • \mathbf{r}_{2}=(x_{2},y_{2})=(-0{,}020\\ \mathrm{m},\\\ 0{,}015\\ \mathrm{m}).
  • Vetor entre 1 e 2:
\mathbf{d}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}=(-0{,}020-0{,}035,\\\ 0{,}015-0{,}005)=(-0{,}055,\\\ 0{,}010)\\ \mathrm{m}.
  • Ponto de equilíbrio:
\mathbf{r}_{3}=\mathbf{r}_{1}+t\,\mathbf{d}.
Substituindo numericamente t\approx -6{,}4641016:
\begin{aligned} x_{3}&=0{,}035 + t\cdot(-0{,}055)\approx 0{,}035 + (-6{,}4641016)(-0{,}055) \\\ &\approx 0{,}035 + 0{,}3555256 \approx 0{,}3905256\\ \mathrm{m},\\[4pt] y_{3}&=0{,}005 + t\cdot(0{,}010)\approx 0{,}005 + (-6{,}4641016)(0{,}010) \\\ &\approx 0{,}005 - 0{,}0646410 \approx -0{,}0596410\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
  • Em centímetros (mais conveniente, já que os dados foram dados em cm):
y_{3}\approx -5{,}9641\\ \mathrm{cm}.]

Passo 9

Interpretação final e checagem rápida:
  • O ponto de equilíbrio está sobre a reta que liga as duas cargas, mas muito além da carga 1 no sentido oposto à carga 2 (isto é, para t<0). Isso é intuitivo porque q_{2} tem maior magnitude e sinal oposto; o ponto de equilíbrio ocorre afastando-se da região entre as cargas, onde as forças podem ficar opostas e de mesma intensidade.
  • Fiz contas com aproximação numérica; o valor de y pedido é então aproximadamente -5{,}96\\ \mathrm{cm}.

Resposta

-5{,}96\\ \mathrm{cm}

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