- 15 As cargas e coordenadas de duas partículas mantidas fixas no plano
são
e
. Determine
a coordenada
de uma terceira partícula de carga
para que a força exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula.
a coordenada
Passo 1
Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
- Carga da partícula 1:
. - Coordenadas da partícula 1:
, . - Carga da partícula 2:
. - Coordenadas da partícula 2:
, . - Carga da partícula 3:
.
O enunciado pede: determinar a coordenadada partícula 3 para que a força resultante sobre ela, causada pelas partículas 1 e 2, seja nula.
Observação importante sobre a informação que falta: o enunciado só pede a coordenada
, não dá
. Isso indica que a posição de equilíbrio, se existir, está totalmente determinada geometricamente pelos dados (isto é, é suficiente encontrar
do ponto de equilíbrio). Vou, portanto, procurar o ponto no plano onde a força total sobre
é zero — isso dará tanto
quanto
; depois eu declaro a coordenada
pedida.
Passo 2
Lei de Coulomb vetorial (a versão que vamos usar) e explicação:
- A força elétrica exercida pela carga
sobre é, em forma vetorial,
Aqui:
-
é a constante eletrostática ( não precisa ser numérica para nosso cálculo porque irá se cancelar). -
é o vetor posição da carga . -
é o vetor posição da carga (aqui é o que queremos). -
é a distância entre as cargas e . - A condição de equilíbrio (força resultante nula) é
Substituindo a expressão de Coulomb e dividindo por
(que é não nulo) obtemos a equação vetorial conveniente:
Passo 3
Consequência vetorial útil (interpretação geométrica):
- A equação vetorial acima implica que os vetores
e são paralelos (ou antiparalelos). Por quê? Porque a combinação linear com escalares (números) desses dois vetores dá zero; para isso ser possível (com os escalares não nulos e ), os dois vetores devem ser colineares. - Portanto, o ponto de equilíbrio
deve estar sobre a reta que passa por e . Isso reduz o problema a um unidimensional ao longo dessa reta.
Passo 4
Parametrização do ponto
sobre a reta que liga 1 e 2:
- Defino o vetor
. - Todo ponto na reta pode ser escrito como
onde
é um número real. Interpretação:
-
dá . -
dá . -
está na extensão da reta além de no sentido oposto a . -
está além de .
Passo 5
Redução da equação vetorial a uma equação escalar em
:
- Substituindo
na condição de equilíbrio obtemos (mostro só os passos essenciais):
- Fator comum
não é o vetor nulo (as partículas 1 e 2 são distintas), então ele pode ser eliminado, sobrando a equação escalar
- Para trabalhar de forma mais simples com magnitudes, uma forma equivalente útil é igualar as magnitudes das forças (pois estão na mesma reta). Assim, impondo igualdade de módulos das intensidades:
onde
e
.
- Substituindo
(em unidades relativas, cancela) e obtemos
onde, para obter essa forma, considerei a situação de sinais que permite forças opostas (depois verificarei qual raiz é aceitável). Note que a equação acima resulta de igualar os quadrados das distâncias, o que dá uma equação algébrica fácil de resolver.
Passo 6
Resolução da equação algébrica para
:
- Partindo de
multiplico cruzado:
- Desenvolvendo:
- Reunindo termos:
- Resolve-se a quadrática:
- Valores numéricos:
-
. -
.
-
Passo 7
Escolha da solução física (verificando sinais/direções):
- Temos duas soluções de módulo que igualam as intensidades, mas devemos checar qual delas satisfaz a equação vetorial original (direções das forças).
- Se
estiver entre e ( ), então os dois vetores contribuintes de força apontam para o mesmo sentido (ambas as parcelas da soma vetorial têm o mesmo sinal longitudinal), então a soma não pode ser zero. Logo não satisfaz a equação vetorial vetorial (é uma solução extrínseca da igualdade de módulos). - Se
( ), as direções ficam opostas de modo que as forças podem se cancelar e, nesse caso, a verificação confirma que é a solução física válida. - Portanto tomamos
Passo 8
Cálculo das coordenadas numéricas do ponto de equilíbrio e extração de
:
- Primeiro converto as coordenadas dadas para metros (ou posso trabalhar em cm; vou usar metros e depois volto a cm):
-
. -
.
-
- Vetor entre 1 e 2:
- Ponto de equilíbrio:
Substituindo numericamente
:
- Em centímetros (mais conveniente, já que os dados foram dados em cm):
Passo 9
Interpretação final e checagem rápida:
- O ponto de equilíbrio está sobre a reta que liga as duas cargas, mas muito além da carga
no sentido oposto à carga (isto é, para ). Isso é intuitivo porque tem maior magnitude e sinal oposto; o ponto de equilíbrio ocorre afastando-se da região entre as cargas, onde as forças podem ficar opostas e de mesma intensidade. - Fiz contas com aproximação numérica; o valor de
pedido é então aproximadamente .