29{ }^{\text {a }} Questão

Calcule \int_{0}^{1}\left(\int_{2}^{4} t^{3} \cos x d t\right) d x.
(A) -64
(B) 60 sen 1
(C) -1 \cos 1
(D) -1+\cos 1
(E) 8 \operatorname{sen} 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\left(\int_{2}^{4} t^{3}\cos x\,dt\right)dx.
Informações relevantes dadas:
  • A integral interna é em relação a t, com limites t=2 a t=4.
  • A integral externa é em relação a x, com limites x=0 a x=1.
  • O integrando da integral interna é t^{3}\cos x, que depende de t e de x.

Passo 2

Observação importante sobre integrais iteradas: ao integrar em relação a t tratamos x como constante. Portanto, podemos tirar \cos x para fora da integral em t. Em termos matemáticos:
\int_{2}^{4} t^{3}\cos x\,dt=\cos x\int_{2}^{4} t^{3}\,dt.
Aqui \cos x é vista como constante com respeito a t, e \int_{2}^{4} t^{3}\,dt é uma integral simples em t.

Passo 3

Vamos calcular a integral em t. Usamos a regra do poder para integrais: para todo n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=3,
\int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4}+C.
Agora avaliamos no intervalo de 2 a 4:
\int_{2}^{4} t^{3}\,dt=\left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{2}^{4}=\frac{4^{4}}{4}-\frac{2^{4}}{4}.

Passo 4

Calculemos os números:
4^{4}=256,\qquad 2^{4}=16.
Logo
\frac{4^{4}}{4}-\frac{2^{4}}{4}=\frac{256}{4}-\frac{16}{4}=64-4=60.
Portanto a integral interna vale 60\cos x:
\int_{2}^{4} t^{3}\cos x\,dt = 60\cos x.

Passo 5

Agora voltamos à integral externa:
\int_{0}^{1}\left(\int_{2}^{4} t^{3}\cos x\,dt\right)dx=\int_{0}^{1}60\cos x\,dx=60\int_{0}^{1}\cos x\,dx.
A integral de \cos x é \sin x, pois \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Assim,
\int_{0}^{1}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{0}^{1}=\sin 1-\sin 0.

Passo 6

Como \sin 0=0, obtemos
60\int_{0}^{1}\cos x\,dx=60(\sin 1-0)=60\sin 1.
Portanto o valor da integral iterada é 60\sin 1. (Isso corresponde à alternativa (B).)

Resposta

60\sin 1

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