27 Como vinham se desenvolvendo as idéias que levaram ao cálculo diferencial e as que levaram ao cálculo integral desde a antiguidade grega? Quais as preocupações e problema típicos de um e de outro?
Passo 1
O enunciado pede para traçar o desenvolvimento histórico, desde a antiguidade grega, das ideias que deram origem ao cálculo diferencial (problemas de tangentes, velocidades, máximos e mínimos) e das que deram origem ao cálculo integral (problemas de quadratura de áreas e volumes). Vamos identificar os marcos principais em cada trajetória e contrastar as preocupações típicas de cada ramo.
Passo 2
Evolução das ideias que levaram ao cálculo integral
. Antiguidade grega: Arquimedes utiliza o método da exaustão para quadrar a parábola e aproximar áreas, somando polígonos inscritos e circunscritos.
. Idade Média e início do Renascimento: poucas progressões significativas na Europa, mas avanços em tradições islâmicas e indianas relativas a áreas sob curvas simples.
. Século XVII: Bonaventura Cavalieri introduz o método dos indivisíveis, somando “fatias” infinitesimais de área e volume de forma proto– integral. Torricelli e Roberval estendem a ideia a sólidos de revolução.
. Meio do século XVII: Kepler já soma fatias para volumes de sólidos astronômicos; Fermat usa raciocínios de soma infinita para áreas sob curvas.
. Final do século XVII e século XVIII: Newton desenvolve as “fluentes” e a integral como soma de fluxões; Leibniz formaliza a notação
e define rigorosamente o somatório de dife– renciais.
Passo 3
Evolução das ideias que levaram ao cálculo diferencial
. Antiguidade grega: estudo de seções cônicas por Apolônio, mas sem noção sistemática de tangente ou taxa de variação.
. Século XVII – primeiras pistas: Descartes calcula tangentes a curvas algébricas por métodos geométricos; Torricelli e Roberval estudam movimento de projéteis, sugerindo diferenças de posição em pequenos intervalos de tempo.
. Fermat (c.
): método de tangentes baseado em igualar diferenças finitas, precursor de
, e resolução de máximos e mínimos sem cálculo formal.
. Newton (
–
): define as “fluxões”
como taxa instantânea de crescimento e usa-as para resolver problemas de movimento e otimização.
. Leibniz (
–
): introduz o diferencial
e a derivada
, estabelece regras de derivação e sistematiza os cálculos de taxas e tangentes.
Passo 4
Principais preocupações e problemas típicos
– Cálculo integral: preocupação global em somar infinitas “pedaços” (áreas, volumes, comprimentos de arco) para obter uma grandeza completa; converge para o conceito de limite de soma de retângulos ou fatias.
– Cálculo diferencial: preocupação local em quantificar a variação instantânea de uma função, achar a inclinação da reta tangente, velocidades instantâneas e pontos críticos (máximos e mínimos).
– Cálculo integral: preocupação global em somar infinitas “pedaços” (áreas, volumes, comprimentos de arco) para obter uma grandeza completa; converge para o conceito de limite de soma de retângulos ou fatias.
– Cálculo diferencial: preocupação local em quantificar a variação instantânea de uma função, achar a inclinação da reta tangente, velocidades instantâneas e pontos críticos (máximos e mínimos).
Resposta
As ideias de cálculo integral nasceram na Grécia com a quadratura de áreas via método da exaustão (Arquimedes) e evoluíram pelos indivisíveis de Cavalieri até a integral de Newton– Leibniz. Já as de cálculo diferencial foram despertadas pelos antigos estudos de curvas e só ganharam forma no século XVII, com Fermat (tangentes e extremos), Newton (fluxões) e Leibniz (diferenciais), centrando– se na análise local de taxas de variação.