24 Mostre que a equação x=x0+v0 t+12 a t^2 é dimensionalmente correta. Uma equação horária do tipo x(t+4)=3 t^2+5 t é dimensionalmente correta?

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas coisas usando análise dimensional:
  1. Mostrar que a equação horária
x = x0 + v0,t + tfrac12,a,t^2
é dimensionalmente homogênea.
2. Verificar se a “equação”
x(t+4) = 3,t^2 + 5,t
faz sentido do ponto de vista dimensional.
Para isso, lembramos as dimensões básicas: posição x tem dimensão de comprimento ( L), tempo t tem dimensão de tempo ( T), velocidade inicial v0 tem dimensão L,T^-1 e aceleração a tem dimensão L,T^-2.

Passo 2

Analisando
x = x0 + v0,t + tfrac12,a,t^2,
vemos que cada termo deve ter dimensão de comprimento ( L):
  • [x0] = L.
  • [v0,t] = (L,T^-1)cdot T = L.
  • l[tfrac12,a,t^2r] = (L,T^-2)cdot T^2 = L.
    Como todos os termos têm dimensão L, a soma é válida e a equação é dimensionalmente correta.

Passo 3

Na “equação”
x(t+4) = 3,t^2 + 5,t
o argumento da função é t+4. Como t tem dimensão T, o número 4 teria que ter dimensão T para somar com t; mas está escrito sem unidade, o que já indica inconsistência na definição do domínio.

Passo 4

Mesmo ajustando que “4” seria 4,s, o lado direito
3,t^2 + 5,t
tem termos de dimensões diferentes:
  • [3,t^2]=T^2,
  • [5,t]=T.
    Você não pode somar algo em T^2 com algo em T, nem ambos se igualam à dimensão L de x. Logo, essa “equação” não é dimensionalmente homogênea.

Resposta

A primeira equação é dimensionalmente correta. A segunda não é, pois mistura dimensões distintas e não produz dimensão de comprimento para x.

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