28 Explique como Eudoxo abordou o problema da área do círculo, e como deu uma definição de área que coincide exatamente com a noção moderna do limite.
Passo 1
O enunciado pede para explicar como Eudoxo determinou a área do círculo usando o método de exaustão e como a sua definição de área coincide com a noção moderna de limite. Vamos precisar da teoria das proporções de Eudoxo (Livro V de Euclides) e do procedimento de inscrever e circunscrever polígonos regulares num círculo.
Passo 2
Eudoxo introduz uma definição de razão entre duas magnitudes
e
sem recorrer a números irracionais: dizemos que
e
têm a mesma razão se, para quaisquer inteiros positivos
, as comparações de
cópias de
e
cópias de
produzem sempre o mesmo resultado (maior, igual ou menor). Essa é a base para comparar áreas sem precisar medir com unidades métricas.
Passo 3
Para aproximar a área do círculo, ele inscreve um polígono regular de
lados (área
) e circunscreve outro polígono regular de
lados (área
). Ao duplicar o número de lados
, mostra que
-
cresce e fica sempre abaixo da área do círculo , -
decresce e fica sempre acima de .
Passo 4
Eudoxo prova que a diferença entre as áreas inscrita e circunscrita pode ser tornada arbitrariamente pequena: para todo inteiro
existe
tal que
Em outras palavras, as razões
podem ser feitas tão próximas de
quanto se queira.
Passo 5
Pelo Princípio de Exaustão (Postulado V.4 de Euclides), se uma magnitude fica sempre entre duas sequências que se aproximam arbitrariamente uma da outra, então existe uma única magnitude intermédia. Eudoxo define a área do círculo como essa única magnitude que “esgota” o círculo: é o limite comum das áreas dos polígonos inscritos e circunscritos quando
.
Resposta
Eudoxo usou o método de exaustão, inscrevendo e circunscrevendo polígonos regulares de lados crescentes, e comparou suas áreas pela sua definição de proporção de magnitudes. Ele mostrou que as áreas desses polígonos convergem arbitrariamente uma à outra, e aplicou o princípio de exaustão para concluir que existe uma única área intermediária — exatamente o limite moderno das áreas dos polígonos — que é a área do círculo.