Show that the maximum work that can be done by
moles of ideal gas in expanding at constant temperature
from
to
is
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos qual é o trabalho máximo que pode ser realizado por
mols de um gás ideal, quando ele se expande isotermicamente (temperatura constante) de um volume inicial
para um volume final
à temperatura
. As informações relevantes são:
- Número de mols:
. - Temperatura (constante):
. - Volume inicial:
. - Volume final:
. - O gás é ideal.
O objetivo é obter uma expressão para o trabalho máximorealizado pela expansão entre esses dois estados.
Passo 2
Definindo convenções e a expressão geral do trabalho mecânico:
- Vou usar a convenção em que o trabalho realizado pelo gás durante a expansão (trabalho “saindo” do sistema) é
onde
é a pressão externa contra a qual o gás expande. Esse é o trabalho que podemos extrair mecanicamente da expansão.
- Para maximizar
para uma transformação que começa em e termina em , devemos escolher o processo que entrega o maior valor de . Vou agora justificar qual processo fornece o máximo e por quê.
Passo 3
Por que o processo reversível dá o trabalho máximo? argumento físico e por leis da termodinâmica:
- Para um processo isotérmico com gás ideal, a energia interna depende só da temperatura, então
(porque é constante). Pela primeira lei:
portanto
Ou seja: para transformação isotérmica entre os mesmos estados, o trabalho realizado pelo gás é igual ao calor absorvido pelo gás.
- Pela segunda lei (para uma transformação entre os mesmos estados do sistema em contato com um reservatório térmico à temperatura
), vale a desigualdade
Se o reservatório está à temperatura
e troca calor
com o sistema, então
. Assim
- Juntando com
, obtemos
com igualdade somente se o processo for reversível. Portanto, entre todas as maneiras de ir de
para
à mesma
, a expansão reversível (quase-estática) fornece o maior trabalho possível. Conclusão: o trabalho máximo é o trabalho reversível
.
Passo 4
Cálculo do trabalho reversível para gás ideal em processo isotérmico:
- Em um processo reversível quase-estático, a pressão externa mantém-se igual à pressão do gás em cada instante, isto é
. Para gás ideal, a pressão interna satisfaz a equação dos gases ideais:
onde
é a constante dos gases e
é a temperatura constante.
- O trabalho reversível é então
- Como
, e são constantes durante a integração, tiramos fora da integral:
- Integrando
, obtemos
Passo 5
Interpretação final e verificação de sinais:
- Pela argumentação do Passo 3, esse
é o trabalho máximo possível que o gás pode realizar entre os estados dados. - Note que, se
(expansão), , então é positivo — isso significa trabalho realizado pelo gás. Se (compressão), a expressão fica negativa (trabalho realizado sobre o gás). - Resumindo: a expansão isotérmica reversível maximiza o trabalho porque maximiza o calor absorvido sujeitando-se à segunda lei; a integral explícita dá a forma logarítmica mostrada acima.