Show that the maximum work that can be done by n moles of ideal gas in expanding at constant temperature T from V_{1} to V_{2} is w(\max )=n R T \ln \left(V_{2} / V_{1}\right).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos qual é o trabalho máximo que pode ser realizado por n mols de um gás ideal, quando ele se expande isotermicamente (temperatura constante) de um volume inicial V_{1} para um volume final V_{2} à temperatura T. As informações relevantes são:
  • Número de mols: n.
  • Temperatura (constante): T.
  • Volume inicial: V_{1}.
  • Volume final: V_{2}.
  • O gás é ideal.
    O objetivo é obter uma expressão para o trabalho máximo w(\max) realizado pela expansão entre esses dois estados.

Passo 2

Definindo convenções e a expressão geral do trabalho mecânico:
  • Vou usar a convenção em que o trabalho realizado pelo gás durante a expansão (trabalho “saindo” do sistema) é
W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P_{\text{ext}}\,dV,
onde P_{\text{ext}} é a pressão externa contra a qual o gás expande. Esse é o trabalho que podemos extrair mecanicamente da expansão.
  • Para maximizar W_{\text{by}} para uma transformação que começa em (T,V_{1}) e termina em (T,V_{2}), devemos escolher o processo que entrega o maior valor de \int P_{\text{ext}}\,dV. Vou agora justificar qual processo fornece o máximo e por quê.

Passo 3

Por que o processo reversível dá o trabalho máximo? argumento físico e por leis da termodinâmica:
  • Para um processo isotérmico com gás ideal, a energia interna depende só da temperatura, então \Delta U=0 (porque T é constante). Pela primeira lei:
\Delta U = Q - W_{\text{by}} \quad\Rightarrow\quad 0 = Q - W_{\text{by}},
portanto
W_{\text{by}} = Q.
Ou seja: para transformação isotérmica entre os mesmos estados, o trabalho realizado pelo gás é igual ao calor absorvido pelo gás.
  • Pela segunda lei (para uma transformação entre os mesmos estados do sistema em contato com um reservatório térmico à temperatura T), vale a desigualdade
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{sys}} + \Delta S_{\text{res}} \ge 0.
Se o reservatório está à temperatura T e troca calor Q com o sistema, então \Delta S_{\text{res}} = -\dfrac{Q}{T}. Assim
\Delta S_{\text{sys}} - \frac{Q}{T} \ge 0 \quad\Rightarrow\quad Q \le T\,\Delta S_{\text{sys}}.
  • Juntando com W_{\text{by}}=Q, obtemos
W_{\text{by}} \le T\,\Delta S_{\text{sys}},
com igualdade somente se o processo for reversível. Portanto, entre todas as maneiras de ir de V_{1} para V_{2} à mesma T, a expansão reversível (quase-estática) fornece o maior trabalho possível. Conclusão: o trabalho máximo é o trabalho reversível W_{\text{rev}}.

Passo 4

Cálculo do trabalho reversível para gás ideal em processo isotérmico:
  • Em um processo reversível quase-estático, a pressão externa mantém-se igual à pressão do gás em cada instante, isto é P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}. Para gás ideal, a pressão interna satisfaz a equação dos gases ideais:
P_{\text{gas}}=\frac{nRT}{V},
onde R é a constante dos gases e T é a temperatura constante.
  • O trabalho reversível é então
W_{\text{rev}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P_{\text{gas}}\,dV = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{nRT}{V}\,dV.
  • Como n, R e T são constantes durante a integração, tiramos fora da integral:
W_{\text{rev}} = nRT \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{1}{V}\,dV.
  • Integrando \int_{V_{1}}^{V_{2}} \dfrac{1}{V}\,dV = \ln\!\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right), obtemos
W_{\text{rev}} = nRT \ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).

Passo 5

Interpretação final e verificação de sinais:
  • Pela argumentação do Passo 3, esse W_{\text{rev}} é o trabalho máximo possível w(\max) que o gás pode realizar entre os estados dados.
  • Note que, se V_{2}>V_{1} (expansão), \ln\!\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)>0, então w(\max) é positivo — isso significa trabalho realizado pelo gás. Se V_{2}<V_{1} (compressão), a expressão fica negativa (trabalho realizado sobre o gás).
  • Resumindo: a expansão isotérmica reversível maximiza o trabalho porque maximiza o calor absorvido sujeitando-se à segunda lei; a integral explícita dá a forma logarítmica mostrada acima.

Resposta

w(\max)=n R T \ln\!\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)

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