28- A água destilada que você usa no laboratório é levemente ácida por causa do \mathrm{CO}_{2} dissolvido, que reage formando ácido carbônico, \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}. Calcule o pH de uma solução 0,001 \mathrm{M} de \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}. Para os cálculos considere apenas o primeiro Ka do \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}.
\begin{array}{ll} \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3} \leftrightarrow \mathrm{H}^{+}+\mathrm{HCO}_{3}^{-} & \mathrm{Ka}_{1}=4,4 \times 10^{-7} \\\ \mathrm{HCO}_{3}^{-} \leftrightarrow \mathrm{H}^{+}+\mathrm{CO}_{3}^{2-} & \mathrm{Ka}_{2}=4,7 \times 10^{-11} \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o pH de uma solução de \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3} com concentração inicial 0{,}001\\ \mathrm{M}.
  • Instrução: considerar apenas o primeiro K_a do \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}.
Informações fornecidas:
  • Concentração inicial do ácido: c=0{,}001.
  • Primeiro dissociação: \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{HCO}_{3}^{-} com \mathrm{Ka}_1=4{,}4\times10^{-7}.
  • Segunda dissociação dada no enunciado é \mathrm{Ka}_2=4{,}7\times10^{-11}, mas o enunciado pede para desprezá-la (ou seja, não vamos incluí-la nos cálculos).

Passo 2

Entendendo a reação e a constante K_a (aula rapidinha, sem pânico):
  • Para a dissociação \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{HCO}_{3}^{-}, define-se que a concentração de \mathrm{H}^{+} formada em equilíbrio é x. Assim as concentrações em equilíbrio serão:
    • [\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}] = c-x,
    • [\mathrm{H}^{+}] = x,
    • [\mathrm{HCO}_{3}^{-}] = x.
  • A constante de acidez é definida por
\mathrm{Ka}_1=\frac{[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{HCO}_{3}^{-}]}{[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}]}.
  • Substituindo as concentrações em equilíbrio obtemos a equação que relaciona x, c e \mathrm{Ka}_1:
\mathrm{Ka}_1=\frac{x\cdot x}{c-x}=\frac{x^{2}}{c-x}.

Passo 3

Montando e resolvendo a equação de equilíbrio (passo algébrico):
  • A partir de \mathrm{Ka}_1=\dfrac{x^{2}}{c-x} multiplica-se denominador:
x^{2}=\mathrm{Ka}_1(c-x).
  • Colocando tudo num lado obtém-se a equação quadrática
x^{2}+\mathrm{Ka}_1\,x-\mathrm{Ka}_1\,c=0.
  • Aqui:
    • x é a concentração de \mathrm{H}^{+} em equilíbrio (em mol·L^{-1}),
    • c é a concentração inicial do ácido ( 0{,}001),
    • \mathrm{Ka}_1 é 4{,}4\times10^{-7}.

Passo 4

Aplicando a aproximação usual para ácidos fracos (por que e quando dá para usar):
  • Se o ácido é fraco e a dissociação é pequena, então x\ll c e podemos aproximar c-x\approx c. Assim
x\approx\sqrt{\mathrm{Ka}_1\,c}.
  • Essa fórmula é muito prática em prova porque evita resolver a quadrática; depois a gente checa se a aproximação foi válida (regra prática: se x/c<0{,}05 então a aproximação é boa).
  • Calculando:
    • Primeiro \mathrm{Ka}_1\,c=(4{,}4\times10^{-7})\cdot(1\times10^{-3})=4{,}4\times10^{-10}.
    • Então
x\approx\sqrt{4{,}4\times10^{-10}}=\sqrt{4{,}4}\times10^{-5}\approx2{,}0976\times10^{-5}.
  • A concentração de \mathrm{H}^{+} em equilíbrio é, pela aproximação, x\approx2{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Cálculo do pH a partir de x:
  • O pH é definido por \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^{+}].
  • Aplicando com x\approx2{,}0976\times10^{-5}:
\mathrm{pH}\approx -\log_{10}\left(2{,}0976\times10^{-5}\right).
  • Avaliação do log (passo a passo): \log_{10}(2{,}0976\times10^{-5})=\log_{10}(2{,}0976)+\log_{10}(10^{-5})\approx0{,}3219-5=-4{,}6781.
  • Portanto
\mathrm{pH}\approx 4{,}6781\approx 4{,}68.

Passo 6

Cheque da aproximação resolvendo a equação quadrática exata (para ver se deu zebra):
  • A solução exata da quadrática x^{2}+\mathrm{Ka}_1 x-\mathrm{Ka}_1 c=0 é
x=\frac{-\mathrm{Ka}_1+\sqrt{\mathrm{Ka}_1^{2}+4\mathrm{Ka}_1 c}}{2}.
  • Numericamente:
    • \mathrm{Ka}_1^{2}=(4{,}4\times10^{-7})^{2}=1{,}936\times10^{-13}.
    • 4\mathrm{Ka}_1 c=4\cdot4{,}4\times10^{-7}\cdot10^{-3}=1{,}76\times10^{-9}.
    • Soma: \mathrm{Ka}_1^{2}+4\mathrm{Ka}_1 c\approx1{,}7601936\times10^{-9}.
    • Raiz: \sqrt{1{,}7601936\times10^{-9}}\approx4{,}1957\times10^{-5}.
    • Logo
x=\frac{-4{,}4\times10^{-7}+4{,}1957\times10^{-5}}{2}\approx2{,}0755\times10^{-5}.
  • pH exato:
\mathrm{pH}=-\log_{10}\left(2{,}0755\times10^{-5}\right)\approx4{,}683.
  • Comparação: aproximação deu 4{,}678, solução exata deu 4{,}683 — diferença desprezível na prática de prova.

Passo 7

Verificação da validade da aproximação (regra dos 5%):
  • Relação x/c com o valor exato x\approx2{,}08\times10^{-5}:
\frac{x}{c}\approx\frac{2{,}08\times10^{-5}}{1\times10^{-3}}=0{,}0208=2{,}08\%.
  • Como 2{,}08\%<5\%, a aproximação c-x\approx c é perfeitamente aceitável. Isso confirma que o resultado é confiável.

Resposta

\mathrm{pH}=4{,}68

Exercícios relacionados