31- O ácido butírico \mathrm{HC}_{4} \mathrm{H}_{7} \mathrm{O}_{2}, é responsável pelo odor azedo na manteiga e no queijo. Seu Ka é 1,51 \times 10^{-5}. Calcule a concentração de \left[\mathrm{H}^{+}\right]em soluções preparadas pela adição de 0,279 \mathrm{~mol} de ácido butírico e água suficiente para prepara 1,30 \mathrm{~L}. b) Qual é o pH desta solução?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece informação clara. Vou listar isso direitinho para não nos perder:
  • O que pedem:
    1. Calcular a concentração de \left[\mathrm{H}^{+}\right] na solução preparada.
    2. Calcular o pH dessa solução.
  • Dados fornecidos:
    • ácido butírico com fórmula \mathrm{HC}_{4}\mathrm{H}_{7}\mathrm{O}_{2} (um ácido fraco), cuja constante de acidez é \displaystyle K_a=1,51\times10^{-5}.
    • quantidade de ácido adicionada: \displaystyle 0,279\\ \text{mol}.
    • volume da solução: \displaystyle 1,30\\ \text{L}.
  • Observação importante: não foi adicionada outra fonte de íons além do próprio ácido e da água pura. Então a concentração inicial do ácido será apenas \dfrac{\text{mol}}{\text{L}}.

Passo 2

Calcular a concentração inicial molar do ácido, que chamo de \displaystyle C_0. Isso é só dividir moles por volume:
C_0=\frac{0,279}{1,30}.
Faço a conta:
C_0=0,214615\ldots\\ \mathrm{M}.
Por clareza prática podemos usar \displaystyle C_0\approx0,2146\\ \mathrm{M} (vou manter algumas casas para os cálculos e depois arredondar o resultado final).

Passo 3

Montar o equilíbrio químico e a expressão de \displaystyle K_a. Para um ácido genérico \mathrm{HA} que se ioniza:
\mathrm{HA}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{A}^{-}.
Se a concentração inicial de \mathrm{HA} é \displaystyle C_0 e a quantidade que se ioniza no equilíbrio é \displaystyle x, então:
  • [\mathrm{HA}]_{\text{eq}}=C_0-x,
  • [\mathrm{H}^+]_{\text{eq}}=x (assumindo que não há \mathrm{H}^+ inicial significativo),
  • [\mathrm{A}^-]_{\text{eq}}=x.
A expressão da constante de acidez é
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}=\frac{x\cdot x}{C_0-x}=\frac{x^2}{C_0-x}.
Aqui K_a e C_0 já conhecemos; a incógnita é x=[\mathrm{H}^+].

Passo 4

Aplicar a aproximação usual para ácidos fracos: se x\ll C_0 então C_0-x\approx C_0 e temos a fórmula aproximada
x\approx\sqrt{K_a\,C_0}.
Antes de usar, lembro e explico por que: a equação exata daria uma quadrática, mas quando a ionização é pequena o termo -x no denominador pode ser desprezado, o que simplifica muito e dá essa raiz quadrada.
Agora calculo com os valores dados (lembre: usar vírgula nos decimais):
K_a=1,51\times10^{-5},\qquad C_0=0,214615\ldots
x\approx\sqrt{(1,51\times10^{-5})\cdot(0,214615)}.
Faço o produto dentro da raiz:
(1,51\times10^{-5})\cdot(0,214615)=3,241\times10^{-6}\\ (\text{aprox.}).
Agora a raiz:
x\approx\sqrt{3,241\times10^{-6}}=1,8003\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Arredondando de forma coerente (3 algarismos significativos) obtemos
[\mathrm{H}^+]\approx1,80\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Verificar se a aproximação x\ll C_0 é válida (regra prática: verificar se x/C_0<5\%). Calculo a fração ionizada:
\frac{x}{C_0}=\frac{1,8003\times10^{-3}}{0,214615}\approx0,00839\approx0,839\%.
Como isso é muito menor que 5\%, a aproximação é perfeitamente válida. (Se não fosse, teríamos de resolver a equação quadrática exata.)

Passo 6

Calcular o pH a partir de [\mathrm{H}^+]. A definição é
\mathrm{pH}=-\log_{10}\big([\mathrm{H}^+]\big).
Usando [\mathrm{H}^+]=1,8003\times10^{-3},
\mathrm{pH}=-\log_{10}\big(1,8003\times10^{-3}\big)=-(\log_{10}1,8003-3)=3-\log_{10}1,8003.
Calculando numericamente,
\mathrm{pH}\approx3-0,2553=2,7447\ldots
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em pH) dá \mathrm{pH}\approx2,75.

Resposta

\left[\mathrm{H}^{+}\right]=1,80\times10^{-3}\\ \mathrm{M}
\mathrm{pH}=2,75

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