8.28 A água é o fluido de trabalho em um ciclo ideal de Rankine com superaquecimento e reaquecimento. O vapor entra na turbina do primeiro estágio a 1400 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} e 1000^{\circ} \mathrm{F}, se expande até uma pressão de 350 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} e é reaquecido até 900^{\circ} \mathrm{F} antes de entrar na turbina do segundo estágio. A pressão no condensador é de 2 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}. A potência liquida de saída do ciclo é de 1 \times 10^{9} \mathrm{Btu} / \mathrm{h}. Determine para esse ciclo:
(c) a taxa de transferência de calor, em Btu/h, para o fluido de trabalho que passa pelo reaquecedor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo que vou usar no resto da resolução).
  • Dados do ciclo (peguei estes dados do enunciado):
    • Vapor entra na turbina do primeiro estágio em \,p_1=1400\\ \mathrm{lbf/in^2}\, e \,T_1=1000^\circ\mathrm{F}\,.
    • Expansão do primeiro estágio até \,p_2=350\\ \mathrm{lbf/in^2}\,.
    • Reaquecimento a \,p_2=350\\ \mathrm{lbf/in^2}\, até \,T_3=900^\circ\mathrm{F}\, (entrada do segundo estágio).
    • Expansão no segundo estágio até a pressão do condensador \,p_4=2\\ \mathrm{lbf/in^2}\,.
    • Potência líquida do ciclo: \dot{W}_{\text{líq}}=1\times10^{9}\\ \mathrm{Btu/h}.í
  • O que o item (c) pede:
    • Determinar a taxa de transferência de calor para o fluido de trabalho que passa pelo reaquecedor, ou seja, \dot{Q}_{\text{reaquecedor}} em \mathrm{Btu/h}.
Observação importante: o ciclo é descrito como “ideal de Rankine com superaquecimento e reaquecimento”. Vou assumir expansões e compressão (bomba) isentrópicas (isto é, ciclos reversíveis e sem perdas mecânicas), e usar tabelas de vapor para obter entalpias e volumes específicos nas pressões/temperaturas dadas. Em termos práticos, preciso:
  1. determinar as entalpias nos estados relevantes ( h_1,h_2,h_3,h_4,h_5);
  2. calcular o trabalho específico líquido (w_{\text{líq}})í por unidade de massa;
  3. com \dot{W}_{\text{líq}}í obter a vazão mássica \dot{m};
  4. calcular \dot{Q}_{\text{reaquecedor}}=\dot{m}\,(h_3-h_2).

Passo 2

Vou definir os estados e a relação que vou usar (conceito e fórmula):
  • Estado 1: entrada da turbina 1 — (p_1, T_1).
  • Estado 2: saída da turbina 1 (após expansão isentrópica até p_2) — mesma entropia de 1: s_2=s_1, entalpia h_2 obtida nas tabelas para p_2 e s_2.
  • Estado 3: saída do reaquecedor / entrada da turbina 2 — (p_2, T_3) com entalpia h_3 (tabela de vapor superaquecido).
  • Estado 4: saída da turbina 2 (após expansão isentrópica até p_4) — s_4=s_3, entalpia h_4 obtida nas tabelas para p_4 e s_4.
  • Estado 5: saída do condensador — líquido saturado a p_4: entalpia h_5=h_f(p_4), volume específico v_f(p_4).
Fórmulas essenciais (explicando cada termo):
  • Trabalho específico total das turbinas (por unidade de massa): w_{\text{turbinas}} = (h_1-h_2) + (h_3-h_4).Aqui h_1-h_2 é o trabalho do 1.º estágio; h_3-h_4 é o trabalho do 2.º estágio.
  • Trabalho específico da bomba (compressão isentrópica do líquido, aproximado por trabalho de bombas): w_{\text{bomba}} \approx v_f\,(p_1-p_4),onde v_f é o volume específico do líquido saturado à pressão do condensador. Atenção às unidades: p em \mathrm{lbf/ft^2}, v_f em \mathrm{ft^3/lb} dá ft·lbf/lb; dividir por 778\\ \mathrm{ft\cdot lbf/Btu} converte para \mathrm{Btu/lb}.
  • Trabalho líquido específico: w_{\text{líq}} = w_{\text{turbinas}} - w_{\text{bomba}}.í
  • Vazão mássica: \dot{m}=\frac{\dot{W}_{\text{líq}}}{w_{\text{líq}}}.íí
  • Taxa de calor no reaquecedor (o que nos pedem): \dot{Q}_{\text{reaquecedor}}=\dot{m}\,(h_3-h_2).
Nos passos seguintes vou usar valores de entalpia e volume específico obtidos em tabelas de vapor (superaquecido e saturado). Vou indicar explicitamente de onde peguei cada número.

Passo 3

Peguei os valores necessários nas tabelas de vapor (tabelas de vapor saturado e de vapor superaquecido). Os valores adotados (arredondados) são:
  • Para o estado 1: (p_1=1400\\ \mathrm{psi},\,T_1=1000^\circ\mathrm{F}):
    • \,h_1 = 1484{,}6\\ \mathrm{Btu/lb}. (valor da tabela de vapor superaquecido)
  • Para o estado 2: expansão isentrópica até p_2=350\\ \mathrm{psi} (peguei h_2 na tabela de vapor superaquecido correspondente a p_2 e à entropia s_1):
    • \,h_2 = 1257{,}3\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Para o estado 3: reaquecido a (p_2=350\\ \mathrm{psi},\,T_3=900^\circ\mathrm{F}):
    • \,h_3 = 1469{,}2\\ \mathrm{Btu/lb}. (valor da tabela de vapor superaquecido)
  • Para o estado 4: expansão isentrópica até p_4=2\\ \mathrm{psi} (peguei h_4 na tabela de vapor superaquece/do saturado correspondente a p_4 e s_3):
    • \,h_4 = 1010{,}5\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Para o estado 5: líquido saturado à pressão do condensador p_4=2\\ \mathrm{psi}:
    • \,h_5 = h_f(p_4) = 49{,}1\\ \mathrm{Btu/lb}. (tabela de vapor saturado)
    • \,v_f(p_4) = 0{,}0173\\ \mathrm{ft^3/lb}. (volume específico do líquido saturado a 2\\ \mathrm{psi})
Observação sobre as tabelas: os valores acima foram lidos nas tabelas de vapor superaque­cido e saturado correspondentes às pressões e temperaturas dadas. Se alguém usar uma tabela diferente com arredondamentos levemente diferentes, o resultado final muda pouco; o procedimento permanece o mesmo.

Passo 4

Calcular o trabalho específico da bomba w_{\text{bomba}} com cuidado nas unidades.
  • Pressões (diferença): \Delta p = p_1 - p_4 = 1400 - 2 = 1398\\ \mathrm{psi}.
  • Converter \Delta p para \mathrm{lbf/ft^2}: \Delta p_{\mathrm{ft^2}} = 1398\\ (\mathrm{lbf/in^2})\times144\\ (\mathrm{in^2/ft^2}) = 201312\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
  • Trabalho por unidade de massa (ft·lbf/lb): w_{\text{bomba}}^{(\mathrm{ft\cdot lbf/lb})} = v_f\,\Delta p_{\mathrm{ft^2}} = 0{,}0173\times201312 \approx 3482{,}6\\ \mathrm{ft\cdot lbf/lb}.
  • Converter para \mathrm{Btu/lb} usando 1\\ \mathrm{Btu}=778\\ \mathrm{ft\cdot lbf}: w_{\text{bomba}} = \frac{3482{,}6}{778} \approx 4{,}475\\ \mathrm{Btu/lb}.
Portanto:
w_{\text{bomba}}\approx 4{,}475\\ \mathrm{Btu/lb}.
Comentário didático curto: embora pareça pequeno, para pressões tão altas a bomba pode ter trabalho não desprezível — por isso eu calculei corretamente em \mathrm{Btu/lb}.

Passo 5

Calcular os trabalhos específicos das turbinas (usando as entalpias lidas nas tabelas):
  • Trabalho do 1.º estágio: w_{\text{t1}} = h_1 - h_2 = 1484{,}6 - 1257{,}3 = 227{,}3\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Trabalho do 2.º estágio: w_{\text{t2}} = h_3 - h_4 = 1469{,}2 - 1010{,}5 = 458{,}7\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Trabalho total das turbinas: w_{\text{turbinas}} = w_{\text{t1}} + w_{\text{t2}} = 227{,}3 + 458{,}7 = 686{,}0\\ \mathrm{Btu/lb}.

Passo 6

Calcular o trabalho específico líquido e a vazão mássica:
  • Trabalho líquido específico: w_{\text{líq}} = w_{\text{turbinas}} - w_{\text{bomba}} = 686{,}0 - 4{,}475 = 681{,}525\\ \mathrm{Btu/lb}.í
  • Vazão mássica necessária para produzir \dot{W}_{\text{líq}}=1\times10^9\\ \mathrm{Btu/h}í: \dot{m} = \frac{\dot{W}_{\text{líq}}}{w_{\text{líq}}} = \frac{1{,}0\times10^{9}}{681{,}525}\\ \mathrm{lb/h} \approx 1{,}467{,}378\\ \mathrm{lb/h}.íí
Comentário: este \dot{m} é a massa de vapor que passa por todo o ciclo por hora.

Passo 7

Calcular a taxa de calor fornecida no reaquecedor. Por definição o reaquecedor aquece o vapor do estado 2 ao estado 3 (mesma pressão p_2), então a taxa de calor é:
\dot{Q}_{\text{reaquecedor}} = \dot{m}\,(h_3-h_2).
Usando os valores:
  • h_3-h_2 = 1469{,}2 - 1257{,}3 = 211{,}9\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • \dot{m}\approx 1{,}467{,}378\\ \mathrm{lb/h}.
Logo:
\dot{Q}_{\text{reaquecedor}} \approx 1{,}467{,}378 \times 211{,}9 \approx 310{,}899{,}000\\ \mathrm{Btu/h}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\dot{Q}_{\text{reaquecedor}} \approx 3{,}11\times10^{8}\\ \mathrm{Btu/h}.

Resposta

3{,}11\times10^{8}\\ \mathrm{Btu/h}

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