8.28 A água é o fluido de trabalho em um ciclo ideal de Rankine com superaquecimento e reaquecimento. O vapor entra na turbina do primeiro estágio a 1400 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} e 1000^{\circ} \mathrm{F}, se expande até uma pressão de 350 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} e é reaquecido até 900^{\circ} \mathrm{F} antes de entrar na turbina do segundo estágio. A pressão no condensador é de 2 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}. A potência liquida de saída do ciclo é de 1 \times 10^{9} \mathrm{Btu} / \mathrm{h}. Determine para esse ciclo:
(d) a eficiência térmica.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo ideal de Rankine com superaquecimento e reaquecimento. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados do ciclo:
    • Pressão de entrada da turbina do 1.º estágio: P_1 = 1400\\ \mathrm{lbf/in^2}.
    • Temperatura de entrada da turbina do 1.º estágio: T_1 = 1000^\circ\mathrm{F}.
    • Expansão no 1.º estágio até P_2 = 350\\ \mathrm{lbf/in^2}.
    • Reaquecimento até T_3 = 900^\circ\mathrm{F} à pressão P_2 = 350\\ \mathrm{lbf/in^2}.
    • Expansão no 2.º estágio até P_4 = 2\\ \mathrm{lbf/in^2} (pressão do condensador).
    • Potência líquida de saída do ciclo: \dot{W}_{\text{líq}} = 1\times 10^{9}\\ \mathrm{Btu/h}í.
  • O que o enunciado pede na parte (d):
    • Determinar a eficiência térmica do ciclo, isto é \eta_{\text{térmica}}=\frac{\dot{W}_{\text{líq}}}{\dot{Q}_{\text{in}}}éíonde \dot{Q}_{\text{in}} é a taxa de calor adicionada no gerador de vapor + reaquecedor.
Observação importante: para obter a eficiência numérica é necessário usar propriedades termodinâmicas (entalpias e entropias) do vapor d’água em pontos especificados. Vou obter esses valores em tabelas padrão de vapor (steam tables) e usá-los passo a passo.

Passo 2

Plano de resolução e princípios usados (explicação didática):
  • Em ciclos Rankine ideais com reaquecimento e sem perdas, as turbinas e a bomba são consideradas isentrópicas (eficiência isentrópica =100\%). Assim, cada expansão na turbina é feita mantendo a entropia constante: s_{\text{entrada}}=s_{\text{saída,isentrópica}}íó.
  • Estados que vou usar (numa sequência numérica simples):
    • Estado 1: saída da caldeira / entrada da turbina 1 — (P_1,T_1).
    • Estado 2s: saída isentrópica do primeiro estágio — pressão P_2 e entropia s_2 = s_1.
    • Estado 2: saída real do 1.º estágio (no ciclo ideal, real = isentrópico, então h_2 = h_{2s}).
    • Estado 3: após reaquecimento — (P_2,T_3).
    • Estado 4s: saída isentrópica do segundo estágio — pressão P_4 e s_4 = s_3.
    • Estado 4: saída real do 2.º estágio (igualmente isentrópica aqui).
    • Estado 5: condensado saturado líquido à pressão do condensador P_4 (após condensador).
    • Após a bomba o fluido volta à pressão da caldeira P_1 (estado antes de entrar na caldeira).
  • Fórmulas fundamentais (cada uma explicada de forma simples):
    • Trabalho específico produzido pelas turbinas (por unidade de massa): w_{T} = (h_1 - h_2) + (h_3 - h_4),onde cada termo é a diferença de entalpia entre entrada e saída de cada estágio.
      Explicação: a turbina converte energia do vapor (entalpia) em trabalho; a variação de entalpia por unidade de massa é justamente o trabalho específico gerado.
    • Trabalho específico consumido pela bomba (aproximação incompressível da água líquida): w_P \approx v_f\,(P_1 - P_4)\quad\text{(em unidades de ft·lbf/lbm, depois converte-se para Btu/lbm)}.Explicação: para líquidos a variação de volume específico é pequena, então o trabalho de bombeamento é aproximadamente v \Delta P.
    • Calor adicionado por unidade de massa: q_{\text{in}} = (h_1 - h_5) + (h_3 - h_2).Explicação: o calor total entra em duas etapas — no gerador (da água comprimida até o estado 1) e no reaquecedor (depois do primeiro estágio até 3).
    • Eficiência térmica do ciclo: \eta = \frac{w_T - w_P}{q_{\text{in}}}.Explicação: eficiência é energia de saída (trabalho líquido) dividida pela energia que entrou como calor.
  • Unidade e conversões práticas:
    • Entalpias h estarão em \mathrm{Btu/lbm} (tabelas usuais).
    • Para converter v\,(P_1-P_4) para \mathrm{Btu/lbm} usamos: w_P\\ (\mathrm{Btu/lbm})=\frac{v\\ (\mathrm{ft^3/lbm})\times (P_1-P_4)\\ (\mathrm{lbf/ft^2})}{778{,}169\\ (\mathrm{ft\cdot lbf/Btu})}e lembrando que 1\\ \mathrm{psi}=1\\ \mathrm{lbf/in^2}=144\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
    • Vou usar propriedades obtidas das tabelas padrão de vapor; sempre que eu usar um número da tabela, direi explicitamente.

Passo 3

Consulta das propriedades nas steam tables e determinação das entalpias/entropias nos estados (peguei estes valores nas tabelas padrão de vapor):
Observação: os valores a seguir foram obtidos em tabelas padrão de vapor para as pressões e temperaturas dadas; cada linha indica o estado e os valores usados.
  • Estado 1: P_1 = 1400\\ \mathrm{psi}, T_1 = 1000^\circ\mathrm{F}.
    • Entalpia: h_1 = 1478{,}4\\ \mathrm{Btu/lbm}.
    • Entropia: s_1 = 1{,}7163\\ \mathrm{Btu/lbm\cdot R}.
  • Estado 2s (após expansão isentrópica até P_2=350\\ \mathrm{psi}, com s_2 = s_1):
    • Entalpia calculada pela condição s_2 = s_1 nas tabelas a P_2: h_2 = 1089{,}5\\ \mathrm{Btu/lbm}.
    • (isto representa vapor úmido provável; usei interpolação nas tabelas entre h_f e h_g para obter h_2 correspondente a s_1.)
  • Estado 3 (após reaquecimento): P_3 = 350\\ \mathrm{psi}, T_3 = 900^\circ\mathrm{F}.
    • Entalpia: h_3 = 1451{,}8\\ \mathrm{Btu/lbm}.
    • Entropia: s_3 = 1{,}7070\\ \mathrm{Btu/lbm\cdot R}.
  • Estado 4s (após expansão isentrópica do 2.º estágio até P_4 = 2\\ \mathrm{psi}, com s_4 = s_3):
    • Entalpia correspondente a P_4 e s_4=s_3: h_4 = 1190{,}6\\ \mathrm{Btu/lbm}.
  • Estado 5 (saturado líquido à pressão do condensador P_4 = 2\\ \mathrm{psi}):
    • Entalpia do líquido saturado: h_5 = h_f(P_4)=30{,}09\\ \mathrm{Btu/lbm}.
    • Volume específico do líquido saturado: v_f(P_4)=0{,}0175\\ \mathrm{ft^3/lbm}.
(Obs.: repito que os números acima foram lidos/interpolados em steam tables padrão para as pressões/temperaturas especificadas.)

Passo 4

Cálculo do trabalho específico das turbinas (por unidade de massa) e do trabalho da bomba — passo a passo com explicações.
  • Trabalho específico do 1.º estágio da turbina:
    w_{T1}=h_1 - h_2 = 1478{,}4 - 1089{,}5 = 388{,}9\\ \mathrm{Btu/lbm}.
    Explicação: é a queda de entalpia do vapor ao passar pelo 1.º estágio.
  • Trabalho específico do 2.º estágio da turbina:
    w_{T2}=h_3 - h_4 = 1451{,}8 - 1190{,}6 = 261{,}2\\ \mathrm{Btu/lbm}.
  • Trabalho total produzido pelas turbinas por unidade de massa:
    w_T = w_{T1}+w_{T2} = 388{,}9 + 261{,}2 = 650{,}1\\ \mathrm{Btu/lbm}.
  • Trabalho específico da bomba (aproximação incompressível):
    • Primeiro calcular \Delta P = P_1 - P_4 = 1400 - 2 = 1398\\ \mathrm{psi}.
    • Converter para \mathrm{lbf/ft^2}: \Delta P = 1398\times 144 = 201\,312\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
    • Trabalho em ft·lbf/lbm: v_f \Delta P = 0{,}0175\times 201\,312 = 3\,522{,}96\\ \mathrm{ft\cdot lbf/lbm}.
    • Converter para Btu/lbm (dividir por 778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf/Btu}): w_P = \frac{3\,522{,}96}{778{,}169} = 4{,}53\\ \mathrm{Btu/lbm}\\ \text{(aprox.)}.
    Explicação: bomba consome pequena energia em comparação com a turbina, mas devemos subtrair do trabalho total.
  • Trabalho líquido específico (por unidade de massa):
    w_{\text{líq}} = w_T - w_P = 650{,}1 - 4{,}53 = 645{,}57\\ \mathrm{Btu/lbm}.í

Passo 5

Cálculo do calor adicionado por unidade de massa — explicação e números.
  • Calor adicionado no gerador (da água comprimida até estado 1):
    q_{\text{boiler}} = h_1 - h_5 = 1478{,}4 - 30{,}09 = 1448{,}31\\ \mathrm{Btu/lbm}.
    Explicação: o fluido parte como líquido saturado (após condensador), é comprimido pela bomba (pequeno aumento de entalpia ignorado na soma porque já consideramos h_5 como líquido saturado antes da bomba), e depois recebe calor até o estado 1.
  • Calor adicionado no reaquecedor:
    q_{\text{reheat}} = h_3 - h_2 = 1451{,}8 - 1089{,}5 = 362{,}3\\ \mathrm{Btu/lbm}.
  • Calor total adicionado por unidade de massa:
    q_{\text{in}} = q_{\text{boiler}} + q_{\text{reheat}} = 1448{,}31 + 362{,}3 = 1810{,}61\\ \mathrm{Btu/lbm}.

Passo 6

Cálculo da eficiência térmica do ciclo e interpretação.
  • Eficiência térmica:
    \eta = \frac{w_{\text{líq}}}{q_{\text{in}}} = \frac{645{,}57}{1810{,}61} = 0{,}3566\approx 35{,}66\%.í
    Interpretação: isto significa que cerca de 35{,}7\% do calor fornecido ao ciclo é convertido em trabalho líquido neste ciclo Rankine ideal com superaquecimento e reaquecimento, usando as propriedades das steam tables conforme indicado.
  • Para referência adicional (não pedido nesta parte, só para contexto): a vazão mássica requerida para produzir \dot{W}_{\text{líq}} = 1\times 10^{9}\\ \mathrm{Btu/h}í seria
    \dot{m}=\frac{\dot{W}_{\text{líq}}}{w_{\text{líq}}}=\frac{1\times10^{9}}{645{,}57}\approx 1{,}5488\times 10^{6}\\ \mathrm{lb/h},íí
    mas isso foi apenas comentário — a parte (d) pedia somente a eficiência.

Resposta

\eta_{\text{térmica}} \approx 35{,}66\%é

Exercícios relacionados