1^{\underline{\text { a }}} Questão (3 pontos) O disco rotaciona com velocidade angular \mathrm{w}=2(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) no sentido antihorário e não desliza no contato com a superfície. Determine a velocidade do ponto B?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos (alguns dados eu extraí da figura):
O que se pede: determinar a velocidade do ponto B.
Dados do enunciado e da figura:
Velocidade angular do disco: \omega=2\\ \text{rad/s} (sentido anti-horário).
Raio externo do disco: R=0,6\\ \text{m} (valor indicado na figura).
Há um triângulo que define a direção da barra/haste com razões 7 (vertical) e 24 (horizontal), ou seja, a direção tem a forma (24,\,\pm7); a barra liga o ponto D (preso à borda do disco) ao ponto B.
O ponto D está na borda do disco, na direção dada pelo triângulo (para cima à direita em relação ao centro).
O ponto B está em contato com o chão (linha horizontal da figura).
A figura também mostra um círculo interno de 0,3\\ \text{m} (não será usado aqui).
Observação importante para a solução: a haste DB é rígida e o ponto B fica sobre o solo (logo a velocidade vertical de B é zero). Não há deslizamento no contato disco-chão.
Passo 2
Primeiro: velocidade do centro do disco por rolamento sem deslizamento.
Explicação do conceito: quando um disco rola sem deslizar sobre o chão, o ponto de contato tem velocidade instantânea zero e o centro do disco se desloca com magnitude igual a \omega R na direção do movimento do disco. Aqui, com rotação anti-horária, o centro move-se para a direita.
Aplicando a fórmula:
v_C=\omega R.
Substituindo:
v_C=2\cdot 0,6=1,2\\ \text{m/s}.
Direção: para a direita (eixo x positivo).
Passo 3
Posição do ponto D (vetor \mathbf{r}_{D/C}) em relação ao centro C.
Como a direção do raio CD segue o triângulo 24 (horizontal) e 7 (vertical) para cima-direita, a unidade de direção é
Velocidade do ponto D por ser ponto fixo do disco que gira em torno de C.
Fórmula vetorial útil (plano xy): para rotação de corpo rígido em torno de C com velocidade angular \omega em +\mathbf{k}, a velocidade de um ponto de posição \mathbf{r}=(x,y) é
Geometria da haste DB.
A direção da haste é a mesma razão 24 horizontal e 7 vertical, mas na figura a haste desce de D até B, então o vetor de D para B tem componente vertical negativa. Escrevemos
(Confirmando: y_B=y_D-0,168=0, portanto B fica no chão.)
Passo 6
Velocidade de B usando a relação de corpo rígido em torno de D.
Fórmula: velocidade de B é velocidade de D mais contribuição da rotação da haste em torno de D:
onde \Omega é a velocidade angular da haste (sentido e valor a determinar). Escrevendo a componente do produto vetorial (para \mathbf{r}_{B/D}=(x_{BD},y_{BD})):
Interpretação: o sinal negativo em v_{B_x} indica que B se move para a esquerda com velocidade de 0,672\\ \text{m/s}. (A haste gira com \Omega=-2\\ \text{rad/s}, ou seja, em sentido horário.)