1^{\underline{\text { a }}} Questão (3 pontos) O disco rotaciona com velocidade angular \mathrm{w}=2(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) no sentido antihorário e não desliza no contato com a superfície. Determine a velocidade do ponto B?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos (alguns dados eu extraí da figura):
  • O que se pede: determinar a velocidade do ponto B.
  • Dados do enunciado e da figura:
    • Velocidade angular do disco: \omega=2\\ \text{rad/s} (sentido anti-horário).
    • Raio externo do disco: R=0,6\\ \text{m} (valor indicado na figura).
    • Há um triângulo que define a direção da barra/haste com razões 7 (vertical) e 24 (horizontal), ou seja, a direção tem a forma (24,\,\pm7); a barra liga o ponto D (preso à borda do disco) ao ponto B.
    • O ponto D está na borda do disco, na direção dada pelo triângulo (para cima à direita em relação ao centro).
    • O ponto B está em contato com o chão (linha horizontal da figura).
    • A figura também mostra um círculo interno de 0,3\\ \text{m} (não será usado aqui).
  • Observação importante para a solução: a haste DB é rígida e o ponto B fica sobre o solo (logo a velocidade vertical de B é zero). Não há deslizamento no contato disco-chão.

Passo 2

Primeiro: velocidade do centro do disco por rolamento sem deslizamento.
Explicação do conceito: quando um disco rola sem deslizar sobre o chão, o ponto de contato tem velocidade instantânea zero e o centro do disco se desloca com magnitude igual a \omega R na direção do movimento do disco. Aqui, com rotação anti-horária, o centro move-se para a direita.
Aplicando a fórmula:
v_C=\omega R.
Substituindo:
v_C=2\cdot 0,6=1,2\\ \text{m/s}.
Direção: para a direita (eixo x positivo).

Passo 3

Posição do ponto D (vetor \mathbf{r}_{D/C}) em relação ao centro C.
Como a direção do raio CD segue o triângulo 24 (horizontal) e 7 (vertical) para cima-direita, a unidade de direção é
\left(\dfrac{24}{25},\dfrac{7}{25}\right)
pois 24^2+7^2=25^2. Então
\mathbf{r}_{D/C}=R\left(\dfrac{24}{25},\dfrac{7}{25}\right).
Valores numéricos:
x_D=R\cdot\dfrac{24}{25}=0,6\cdot\dfrac{24}{25}=0,576\\ \text{m},
y_D=R\cdot\dfrac{7}{25}=0,6\cdot\dfrac{7}{25}=0,168\\ \text{m}.

Passo 4

Velocidade do ponto D por ser ponto fixo do disco que gira em torno de C.
Fórmula vetorial útil (plano xy): para rotação de corpo rígido em torno de C com velocidade angular \omega em +\mathbf{k}, a velocidade de um ponto de posição \mathbf{r}=(x,y) é
\mathbf{v}=\omega\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}=\omega(-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}).
Aplicando para D:
v_{D_x}=-\omega y_D=-2\cdot 0,168=-0,336\\ \text{m/s},
v_{D_y}=\omega x_D=2\cdot 0,576=1,152\\ \text{m/s}.
Portanto
\mathbf{v}_D=(-0,336)\,\mathbf{i}+(1,152)\,\mathbf{j}\\ \text{m/s}.

Passo 5

Geometria da haste DB.
A direção da haste é a mesma razão 24 horizontal e 7 vertical, mas na figura a haste desce de D até B, então o vetor de D para B tem componente vertical negativa. Escrevemos
\mathbf{r}_{B/D}=BD\left(\dfrac{24}{25},-\dfrac{7}{25}\right).
Como B está sobre o chão (eixo y=0) e y_D=0,168\\ \text{m}, a componente vertical do vetor DB tem magnitude 0,168. Logo
BD\cdot\dfrac{7}{25}=0,168 \quad\Rightarrow\quad BD=0,168\cdot\dfrac{25}{7}=0,6\\ \text{m}.
Ou seja, o comprimento BD é 0,6\\ \text{m} (curioso: igual ao raio do disco neste desenho). Assim
\mathbf{r}_{B/D}=(0,6)\left(\dfrac{24}{25},-\dfrac{7}{25}\right)=(0,576,\,-0,168)\\ \text{m}.
(Confirmando: y_B=y_D-0,168=0, portanto B fica no chão.)

Passo 6

Velocidade de B usando a relação de corpo rígido em torno de D.
Fórmula: velocidade de B é velocidade de D mais contribuição da rotação da haste em torno de D:
\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_D+\Omega\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{B/D},
onde \Omega é a velocidade angular da haste (sentido e valor a determinar). Escrevendo a componente do produto vetorial (para \mathbf{r}_{B/D}=(x_{BD},y_{BD})):
\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{B/D}=(-y_{BD},\,x_{BD}).
No nosso caso x_{BD}=0,576 e y_{BD}=-0,168, logo
\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{B/D}=(-(-0,168),\,0,576)=(0,168,\,0,576).
Assim
\mathbf{v}_B=\bigl(-0,336+0,168\,\Omega\bigr)\mathbf{i}+\bigl(1,152+0,576\,\Omega\bigr)\mathbf{j}.

Passo 7

Impor a condição geométrica: B está em contato com o chão, portanto a componente vertical da velocidade de B é nula:
v_{B_y}=1,152+0,576\,\Omega=0.
Resolver para \Omega:
\Omega=-\dfrac{1,152}{0,576}=-2\\ \text{rad/s}.
Então calcular a componente horizontal de \mathbf{v}_B:
v_{B_x}=-0,336+0,168\cdot(-2)=-0,336-0,336=-0,672\\ \text{m/s}.
Portanto
\mathbf{v}_B = (-0,672)\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}\\ \text{m/s}.
Interpretação: o sinal negativo em v_{B_x} indica que B se move para a esquerda com velocidade de 0,672\\ \text{m/s}. (A haste gira com \Omega=-2\\ \text{rad/s}, ou seja, em sentido horário.)

Resposta

\,v_B=0,672\\ \text{m/s} para a esquerda.

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