5.28 Assuma que a água destilada ( \sigma=10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mu_{\mathrm{r}}=\mathrm{I}, \mathrm{O}, \varepsilon_{\mathrm{r}}=8 \mathrm{I} ) preencha a região z>0. Na superfície, nós temos \mathbf{E}(\mathrm{o}, t)=8, \mathrm{o} \cos \left(2 \pi \times{ }_{10}{ }^{8} t\right) \mathbf{a}_{x} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine (a) \mathbf{E}(z, t), (b) \mathbf{H}(z, t), (c) \mathbf{P}_{\text {méd }}é e a potência passando através de uma superfície de 10 \mathrm{~m}^{2} localizada em z=1,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana eletromagnética que incide normalmente na superfície z=0 de água destilada preenchendo z>0. Os parâmetros do meio são \sigma = 10^{-4}\\ \mathrm{S/m}, \mu_r = 1, \varepsilon_r = 80.
Na superfície temos \mathbf{E}(0,t) = 8\cos\bigl(2\pi\times10^8\,t\bigr)\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{V/m}.
Precisamos encontrar:
(a) \mathbf{E}(z,t),
(b) \mathbf{H}(z,t),
(c) a densidade de potência média \mathbf{S}_{\mathrm{méd}}é e a potência total atravessando uma área de 10\\ \mathrm{m^2} em z=1{,}0\\ \mathrm m.

Passo 2

Calcular as constantes do meio e a constante de propagação.
Temos \varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_r = 8{,}85\times10^{-12}\times80 = 7{,}08\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}, \mu = \mu_0\,\mu_r = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
A frequência é f=10^8\\ \mathrm{Hz}, logo \omega=2\pi\times10^8\\ \mathrm{rad/s}.
A constante de propagação num meio condutor é
\gamma \;=\;\sqrt{\,j\omega\mu\,\bigl(\sigma + j\omega\varepsilon\bigr)\,}\;=\;\alpha + j\beta.
Como \sigma/(\omega\varepsilon)\approx2{,}2\times10^{-4}\ll1, a água é bom dielétrico e vale a aproximação
\alpha \approx \frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}},\qquad \beta \approx \omega\sqrt{\mu\,\varepsilon}.
Numericamente \sqrt{\mu/\varepsilon}\approx42{,}14\\ \mathrm{\Omega},
então \alpha \approx \tfrac{10^{-4}}{2}\times42{,}14 = 2{,}11\times10^{-3}\\ \mathrm{Np/m}, \beta \approx 2\pi\times10^8\times2{,}983\times10^{-8} = 18{,}75\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 3

Expressão do campo elétrico no interior do meio, para z>0:
\mathbf{E}(z,t) =\Re\bigl\{8\,e^{-\gamma z}e^{j\omega t}\bigr\}\,\mathbf{a}_x =8\,e^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t - \beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x \quad\mathrm{V/m}.

Passo 4

O campo magnético associado satisfaz \mathbf{H}=\frac{1}{\eta}\,\mathbf{a}_z\times\mathbf{E},
onde a impedância do meio é
\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}} \approx \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \approx 42{,}14\\ \mathrm{\Omega}.
Usando \mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_x = \mathbf{a}_y, resulta
\mathbf{H}(z,t) =\frac{8}{\eta}\,e^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t - \beta z\bigr)\,\mathbf{a}_y \quad\mathrm{A/m}.

Passo 5

A densidade de potência média (vetor de Poynting) é
\mathbf{S}_{\mathrm{méd}} =\frac12\Re\{\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*\} =\frac{8^2}{2\,\eta}\,e^{-2\alpha z}\,\mathbf{a}_z =\frac{64}{2\times42{,}14}\,e^{-2(2{,}11\times10^{-3})z}\,\mathbf{a}_z \;\mathrm{W/m^2}.é
Em z=1{,}0\\ \mathrm m:
S_{\mathrm{méd}}(1) =\frac{64}{84{,}28}\,e^{-0{,}00422} \approx0{,}759\times0{,}9958 \approx0{,}756\\ \mathrm{W/m^2}.é

Passo 6

A potência total atravessando uma superfície de área A=10\\ \mathrm m^2 é
P = S_{\mathrm{méd}}(1)\times A \approx0{,}756\\ \mathrm{W/m^2}\times10\\ \mathrm m^2 \approx7{,}56\\ \mathrm W.é

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(z,t)=8\,e^{-2{,}11\times10^{-3}z}\cos\!\bigl(2\pi\times10^8 t -18{,}75\,z\bigr)\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{V/m}.
(b) \displaystyle \mathbf{H}(z,t)=\frac{8}{42{,}14}\,e^{-2{,}11\times10^{-3}z}\cos\!\bigl(2\pi\times10^8 t -18{,}75\,z\bigr)\,\mathbf{a}_y\\ \mathrm{A/m}.
(c) \displaystyle S_{\mathrm{méd}}(1)=0{,}756\\ \mathrm{W/m^2},\quad P=7{,}56\\ \mathrm W.é

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