5.26 No ar \mathbf{H}(z, t)=12 \cos \left(\pi \times 10^{6} t-\beta z+\pi / 6\right) \mathbf{a}_{x} \mathrm{~A} / \mathrm{m}. Determine a densidade de potência passando através de uma superfície de 1,0 \mathrm{~m}^{2} que é normal à direção de propagação.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético de uma onda plana em ar
\mathbf{H}(z,t)=12\cos\bigl(\pi\times10^{6}t-\beta z+\pi/6\bigr)\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{A/m}
e pede a densidade de potência que atravessa uma superfície de 1{,}0\\ \mathrm{m}^2 normal à direção de propagação z. Para resolver, vamos usar o vetor de Poynting médio em ondas planas no espaço livre.

Passo 2

Em espaço livre, as amplitudes do campo elétrico \mathbf{E} e do campo magnético \mathbf{H} estão relacionadas pela impedância intrínseca
\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\\ \Omega\approx377\\ \Omega,
de modo que, para as amplitudes E_0 e H_0, vale
E_0=\eta_0\,H_0.

Passo 3

Aqui a amplitude do campo magnético é
H_0=12\\ \mathrm{A/m},
logo a amplitude do campo elétrico é
E_0=\eta_0\,H_0=(120\pi)\times12=1440\pi\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

O valor médio (sobre um ciclo) da densidade de potência (magnitude do vetor de Poynting) é
S_{\mathrm{médio}}=\frac{E_0\,H_0}{2}.é

Passo 5

Substituindo E_0 e H_0:
S_{\mathrm{médio}} =\frac{(120\pi)\,H_0\;H_0}{2} =\frac{120\pi\times12\times12}{2} =60\pi\times144 =8640\pi\\ \mathrm{W/m^2} \approx2,71\times10^4\\ \mathrm{W/m^2}.é

Resposta

A densidade de potência média que atravessa 1{,}0\\ \mathrm{m}^2 é
S_{\mathrm{médio}}\approx2{,}7\times10^{4}\\ \mathrm{W}.é

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