5.12 Dados \mathbf{E}=120 \pi \cos \left(6 \pi \times 10^{6} t-0,080 \pi y\right) \mathbf{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{me} \mathbf{H}=2,00 \cos \left(6 \pi \times 10^{6} t-0,080 \pi y\right) \mathbf{a}_{x} \mathrm{~A} / \mathrm{m}, encontre \mu_{\mathrm{r}} e \varepsilon_{\mathrm{r}}.

Passo 1

O enunciado dá um campo eletromagnético viajando no sentido y em um meio ilimitado, com
\mathbf{E}=120\pi\cos\bigl(6\pi\times10^{6}t-0,080\pi\,y\bigr)\,\mathbf{a}_z\quad\text{e}\quad \mathbf{H}=2,00\cos\bigl(6\pi\times10^{6}t-0,080\pi\,y\bigr)\,\mathbf{a}_x.
Pede-se a permeabilidade relativa \mu_r e a permissividade relativa \varepsilon_r.
Vamos usar a definição de impedância de onda e a relação entre a constante de fase, a velocidade de propagação e c.

Passo 2

Calculamos a impedância do meio como a razão entre as amplitudes de \mathbf{E} e \mathbf{H}:
\eta = \frac{E_0}{H_0}
onde E_0=120\pi e H_0=2{,}00. Logo,
\eta = \frac{120\pi}{2{,}00}=60\pi\\ \Omega.

Passo 3

Sabemos que a impedância de um meio isotrópico é
\eta = \eta_0\,\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}},
sendo \eta_0=120\pi\\ \Omega. Substituindo \eta=60\pi, vem
60\pi = 120\pi\,\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu_r}{\varepsilon_r}=\frac14.
Daí obtemos
\varepsilon_r = 4\,\mu_r.

Passo 4

A constante de fase do enunciado é
\beta = 0{,}080\pi\\ \text{rad/m},
e a frequência angular é
\omega = 6\pi\times10^{6}\\ \text{rad/s}.
A velocidade de propagação vale
v = \frac{\omega}{\beta} = \frac{6\pi\times10^{6}}{0{,}080\pi} =7,5\times10^{7}\\ \text{m/s}.
Como v = c/\sqrt{\mu_r\varepsilon_r} e c=3\times10^{8}\\ \text{m/s}, segue
\sqrt{\mu_r\,\varepsilon_r}=\frac{c}{v}=\frac{3\times10^{8}}{7,5\times10^{7}}=4 \quad\Longrightarrow\quad \mu_r\,\varepsilon_r=16.

Passo 5

Temos o sistema
\begin{cases} \varepsilon_r = 4\,\mu_r,\\\ \mu_r\,\varepsilon_r = 16. \end{cases}
Substituindo a primeira na segunda:
\mu_r\,(4\mu_r)=16 \quad\Longrightarrow\quad 4\mu_r^2=16 \quad\Longrightarrow\quad \mu_r^2=4 \quad\Longrightarrow\quad \mu_r=2
(raiz positiva). Então
\varepsilon_r = 4\cdot2=8.

Resposta

\mu_r=2 e \varepsilon_r=8.

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