Q 28 Com base na qauestão anterior e completando quadrado (quando necessário), determine:
integral 11+2 x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 11+2x^2,dx
O conteúdo aqui é a integração de funções da forma integral 1x^2+a^2,dx, que resulta em arco-tangente, e, se necessário, completar quadrado no denominador.

Passo 2

Observe que
1+2x^2=2l(x^2+tfrac12r)
Logo a integral torna-se
integral 11+2x^2,dx =12integral 1x^2+tfrac12,dx

Passo 3

No denominador x^2+tfrac12 já temos um quadrado perfeito, pois
x^2+tfrac12 = x^2+l(tfrac1raiz2r)^2
Portanto a = tfrac1raiz2.

Passo 4

Usamos a fórmula
integral 1x^2+a^2,dx = 1aarctan!l(xar) + C
Substituindo a=tfrac1raiz2
integral 1x^2+tfrac12,dx =raiz2,arctan!l(raiz2,xr) + C

Passo 5

Voltando ao fator tfrac12:
12integral 1x^2+tfrac12,dx =12l(raiz2,arctan(raiz2,x)r)+C =1raiz2,arctan(raiz2,x)+C

Resposta

1raiz2,arctanl(raiz2,xr)+C

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