Calcule as seguintes integrais:
47) integral ln (raizx)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral ln(raizx)x,dx
Aqui o conteúdo principal é integração de funções logarítmicas, e vamos precisar usar a propriedade de logaritmos para simplificar o integrando e depois um método de substituição.

Passo 2

Usamos a propriedade
ln(raizx) = lnl(x^1/2r) = tfrac12,ln(x),
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integral ln(raizx)x,dx = integral tfrac12ln(x)x,dx = tfrac12 integral ln(x)x,dx

Passo 3

Para resolver integral ln(x)x,dx, fazemos a substituição
u = ln(x) Longrightarrow du = 1x,dx
Assim
integral ln(x)x,dx = integral u,du

Passo 4

Integrando em u, temos
integral u,du = u^22 + C
Mas há o fator tfrac12 que veio de antes, então
tfrac12 integral ln(x)x,dx = tfrac12 cdot u^22 + C = u^24 + C

Passo 5

Voltando a variável original (u = ln(x)), concluímos que
integral ln(raizx)x,dx = l(ln(x)r)^24 + C

Resposta

l(ln(x)r)^24 + C

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