Exercício 3.6.2. Mostre que:
Ie=integral0^16 x^141+x^12 d x=-23 raiz[4]216+4 arctg(1raiz[4]6)+29 raiz[4]6

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ie=integral0^16x^141+x^12,dx
O conteúdo principal é usar substituição para simplificar o integrando e depois fazer divisão polinomial para integrar termo a termo.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^14, x = t^4, dx = 4t^3,dt,
com limites de t(0)=0 a tl(tfrac16r)=(tfrac16)^14. Então
Ie = integral0^(1/6)^1/4t1+t^2,4t^3,dt =4integral0^(1/6)^1/4t^41+t^2,dt

Passo 3

Para integrar t^41+t^2, dividimos polinomialmente:
t^41+t^2 = t^2 - t^21+t^2 = t^2 - l(1-11+t^2r) = t^2 - 1 + 11+t^2
Logo
Ie =4integral0^(1/6)^1/4l(t^2 - 1 + tfrac11+t^2r),dt

Passo 4

Integramos cada termo:
integral t^2,dt = t^33, integral 1,dt = t, integral 11+t^2,dt = arctan(t)
Assim uma primitiva é
4l(tfract^33 - t + arctan(t)r)

Passo 5

Avaliando de 0 a a=(1/6)^14:
Ie =4l(tfraca^33-a+arctan(a)r) =4a^33-4a+4arctan(a)

Passo 6

Como a=(1/6)^14 temos a^3=1/6^34=1/216^14. Reescrevendo cada termo:
4a^33 =43cdot 216^14 =29raiz[4]6, -4a =-4cdot1raiz[4]6 =-23raiz[4]216, 4arctan(a) =4arctan!l(tfrac1raiz[4]6r)
Logo chega-se à forma desejada:
Ie =-tfrac23raiz[4]216 +4arctan!l(tfrac1raiz[4]6r) +tfrac29raiz[4]6

Resposta

Ie =-23raiz[4]216 +4arctan!l(tfrac1raiz[4]6r) +29raiz[4]6

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