Q 28 Com base na qauestão anterior e completando quadrado (quando necessário), determine:
integral 14-9 x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 14-9x^2,dx.
Estamos diante de uma função racional cujo denominador é uma diferença de quadrados, e vamos usar a substituição u=3x e a fórmula padrão
integral dua^2-u^2=12a,ln!l|a+ua-ur|+C

Passo 2

Fazendo u=3x, obtemos du=3,dx ou dx=tfrac13,du. Além disso o denominador vira 4-u^2. Portanto
integral 14-9x^2,dx =13integral 14-u^2,du

Passo 3

Aplicamos a fórmula com a=2:
integral 14-u^2,du =integral 12^2-u^2,du =12cdot 2,ln!l|2+u2-ur|+C =14,ln!l|2+u2-ur|+C

Passo 4

Voltando a x (isto é, u=3x) e lembrando do fator tfrac13, fica
integral 14-9x^2,dx =13cdot14,ln!l|2+u2-ur|+C =112,ln!l|2+3x2-3xr|+C

Resposta

integral 14-9x^2,dx =112,ln!l|2+3x2-3xr|+C

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