1. Utilize o resultado do exercício 14 para encontrar as soluções gerais das equações abaixo.
    a. y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^x+e^2 x;
    b. y^prime prime+y^prime-6 y=sin x+x e^2 x;
    c. y^prime prime+2 y^prime=1+x^2+e^-2 x;
    d. y^prime prime+y^prime-2 y=6 e^-x+4;
    e. y^prime prime+y=cos x+8 x^2.

Passo 1

O enunciado pede as soluções gerais de cinco equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes. Vamos aplicar o resultado do exercício 14, que diz que a solução geral de
y'' + a y' + b y = g(x)
é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução geral da equação homogênea associada (obtida pela equação característica) e yp é uma solução particular, encontrada pelo método dos coeficientes a determinar (ansatz adequado ao tipo de g(x), multiplicado por x^s em caso de ressonância).

Passo 2

Equação (a):
y'' + 3y' + 2y = e^x + e^2x
  1. Equação característica: r^2 + 3r + 2 = 0 tem raízes r=-1,-2.
    Logo yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
  2. Para e^x, o ansatz é A e^x (não há ressonância). Substituindo: yp' = A e^x, yp''=A e^x Longrightarrow (1+3+2)A e^x = 6A e^x overset!= e^x ;Rightarrow;A=tfrac16
  3. Para e^2x, o ansatz é B e^2x. Substituindo: yp' =2B e^2x,;yp''=4B e^2x Longrightarrow (4+6+2)B e^2x=12B e^2xoverset!=e^2x ;Rightarrow;B=tfrac112
  4. Soma das particulares: yp = tfrac16 e^x + tfrac112e^2x
Portanto
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + tfrac16 e^x + tfrac112e^2x

Passo 3

Equação (b):
y'' + y' - 6y = sin x + x e^2x
  1. Característica: r^2 + r - 6 = 0 r=-3,,2, logo yh = C1 e^-3x + C2 e^2x
  2. Para sin x, ansatz Acos x + Bsin x. Substituindo em y''+y'-6y e igualando a sin x obtém-se -7A + B = 0, -A -7B = 1 ;Rightarrow; A=-tfrac150,;B=-tfrac750 Então yp1 = -tfrac150cos x - tfrac750sin x
  3. Para x e^2x, ansatz (Cx^2+Dx)e^2x (multiplicado por x devido à ressonância em r=2). Substituindo em y''+y'-6y= x e^2x e igualando coeficientes, obtemos C=tfrac110, D=-tfrac125 Logo yp2 = l(tfrac110x^2 - tfrac125xr)e^2x
  4. Soma das particulares e geral: y = C1 e^-3x + C2 e^2x -tfrac150cos x - tfrac750sin x + l(tfrac110x^2 - tfrac125xr)e^2x

Passo 4

Equação (c):
y'' + 2y' = 1 + x^2 + e^-2x
  1. Característica: r^2 + 2r = r(r+2)=0 r=0,-2, logo yh = C1 + C2 e^-2x
  2. Para 1, ansatz Ax. Substituindo: y''=0, y'=A 2A=1, A=tfrac12.
  3. Para x^2, ansatz Ax^3+Bx^2+Cx. Substituindo e igualando a x^2 A=tfrac16,;B=-tfrac14,;C=tfrac14
  4. Para e^-2x, ressonância em r=-2, ansatz Ax e^-2x. Substituindo dá -2A=1, A=-tfrac12.
  5. Soma das particulares: yp = tfrac12 x +l(tfrac16x^3 - tfrac14x^2 + tfrac14xr) - tfrac12 x e^-2x Simplificando o termo em x: tfrac12x+tfrac14x=tfrac34x.
    Logo y = C1 + C2 e^-2x + tfrac16x^3 - tfrac14x^2 + tfrac34x - tfrac12 x e^-2x

Passo 5

Equação (d):
y'' + y' - 2y = 6e^-x + 4
  1. Característica: r^2 + r - 2 = 0 tem raízes r=-2,1, logo yh = C1 e^-2x + C2 e^x
  2. Para 6e^-x, ansatz Ae^-x -2A=6, A=-3.
  3. Para 4, ansatz constante B -2B=4, B=-2.
    Logo y = C1 e^-2x + C2 e^x - 3e^-x - 2

Passo 6

Equação (e):
y'' + y = cos x + 8x^2
  1. Característica: r^2+1=0 r=pm i, yh = C1cos x + C2sin x
  2. Para cos x, ressonância, ansatz x(Acos x + Bsin x). Substituindo em y''+y e igualando a cos x obtém-se A=0, B=tfrac12.
    Então yp1 = tfrac12,xsin x
  3. Para 8x^2, ansatz Ax^2+Bx+C. Substituindo em y''+y e igualando a 8x^2 A=8,;B=0,;2A+C=0;Rightarrow;C=-16 Logo yp2 = 8x^2 -16
  4. Soma geral: y = C1cos x + C2sin x + tfrac12,xsin x + 8x^2 -16

Resposta

(a) y = C1 e^-x + C2 e^-2x + tfrac16 e^x + tfrac112e^2x
(b) y = C1 e^-3x + C2 e^2x -tfrac150cos x - tfrac750sin x + l(tfrac110x^2 - tfrac125xr)e^2x
(c) y = C1 + C2 e^-2x + tfrac16x^3 - tfrac14x^2 + tfrac34x - tfrac12x e^-2x
(d) y = C1 e^-2x + C2 e^x - 3e^-x - 2
(e) y = C1cos x + C2sin x + tfrac12,xsin x + 8x^2 -16

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