- Utilize o resultado do exercício 14 para encontrar as soluções gerais das equações abaixo.
a.
;
b.
;
c.
;
d.
;
e.
.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede as soluções gerais de cinco equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes. Vamos aplicar o resultado do exercício 14, que diz que a solução geral de
é
onde
é a solução geral da equação homogênea associada (obtida pela equação característica) e
é uma solução particular, encontrada pelo método dos coeficientes a determinar (ansatz adequado ao tipo de
, multiplicado por
em caso de ressonância).
Passo 2
Equação (a):
- Equação característica:
tem raízes .
Logo - Para
, o ansatz é (não há ressonância). Substituindo: - Para
, o ansatz é . Substituindo: - Soma das particulares:
Portanto
Passo 3
Equação (b):
- Característica:
dá , logo - Para
, ansatz . Substituindo em e igualando a obtém-se Então - Para
, ansatz (multiplicado por devido à ressonância em ). Substituindo em e igualando coeficientes, obtemos Logo - Soma das particulares e geral:
Passo 4
Equação (c):
- Característica:
dá , logo - Para
, ansatz . Substituindo: , dá , . - Para
, ansatz . Substituindo e igualando a dá - Para
, ressonância em , ansatz . Substituindo dá , . - Soma das particulares:
Simplificando o termo em : .
Logo
Passo 5
Equação (d):
- Característica:
tem raízes , logo - Para
, ansatz dá , . - Para
, ansatz constante dá , .
Logo
Passo 6
Equação (e):
- Característica:
dá , - Para
, ressonância, ansatz . Substituindo em e igualando a obtém-se , .
Então - Para
, ansatz . Substituindo em e igualando a dá Logo - Soma geral:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)