Calcule as seguintes integrais:
53) integral sen(3 x^-2)x^3 cos (3 x^-2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral senl(3x^-2r)x^3cosl(3x^-2r),dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer que dá para usar substituição para simplificar a parte trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x^-2
Então
du = ddxl(3x^-2r),dx = 3cdot(-2)x^-3,dx = -6x^-3,dx,
ou seja
x^-3,dx = -16,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
sen(3x^-2)x^3cos(3x^-2),dx = sen(u)cos(u),x^-3,dx = tan(u),l(-tfrac16dur) = -tfrac16integral tan(u),du

Passo 4

Sabemos que
integral tan(u),du = -lnl|cos(u)r| + C
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-tfrac16integral tan(u),du = -tfrac16l(-lnl|cos(u)r|r) + C = tfrac16lnl|cos(u)r| + C

Passo 5

Voltando à variável x, com u=3x^-2, a primitiva fica
16lnl|cos(3x^-2)r| + C

Resposta

integral senl(3x^-2r)x^3cosl(3x^-2r),dx = 16lnl|cos(3x^-2)r| + C

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