Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Ib=integral0^1 xx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
Ib = integral0^1 xx+1,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma primitiva de xx+1 e depois avaliar essa primitiva em 0 e 1.

Passo 2

Para facilitar a integração, fazemos divisão algébrica no integrando:
xx+1 = (x+1)-1x+1 = 1 - 1x+1

Passo 3

Agora achamos uma primitiva de cada termo. Como
integral 1,dx = x
e, para x+1>0,
integral 1x+1,dx = ln(x+1),
uma primitiva geral de xx+1 é
F(x) = x - ln(x+1) + C

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Ib = F(1) - F(0)
Calculando:
F(1) = 1 - ln(2), F(0) = 0 - ln(1) = 0,
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Ib = l(1 - ln(2)r) - 0 = 1 - ln(2)

Resposta

1 - ln(2)

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