Q 28 Com base na qauestão anterior e completando quadrado (quando necessário), determine:
integral 15x^2+4 x+9 d x;

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral
integral 15x^2+4x+9,dx
Conteúdo necessário: completar o quadrado para escrever o denominador na forma ,(x+2)^2+(raiz5)^2, e usar a fórmula padrão
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracuar)+C

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
x^2+4x+9 = (x^2+4x+4)+5 = (x+2)^2+5 = (x+2)^2+(raiz5)^2
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integral 15x^2+4x+9,dx = 15 integral dx(x+2)^2+(raiz5)^2
Fazendo a substituição u = x+2, temos du = dx.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
15 integral duu^2+(raiz5)^2 = 15 cdot 1raiz5arctan!l(tfracuraiz5r) + C = 15raiz5arctan!l(tfracx+2raiz5r) + C

Passo 4

Simplificando o coeficiente:
15raiz5 = 15cdotraiz55 = 3raiz5
Portanto a solução final é

Resposta

3raiz5,arctan!l(tfracx+2raiz5r) + C

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