Seja a função f: R R definida por f(x)=37 sin [0.2(x-100)]+25. Explique o significado geométrico das quatro constantes: 37,0.2,100 e 25 .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=37sinl(0.2,(x-100)r)+25,
e pede para interpretar geometricamente as quatro constantes 37, 0.2, 100 e 25. O conteúdo aqui é transformações de gráficos de funções seno: amplitude, período (ou frequência), deslocamento horizontal (fase) e deslocamento vertical.

Passo 2

A constante 37 multiplica todo o seno. Isso significa que o gráfico de sin é “esticado” verticalmente, alcançando valores máximos de +37 e mínimos de -37 em torno da linha média do sinal. Geometricamente, 37 é a amplitude da oscilação.

Passo 3

O fator 0.2 está multiplicando o termo interno de sin. Se escrevermos sin(kx), o período T vale
T=2pik
Aqui k=0.2, logo
T=2pi0.2=10pi
Isso indica que a onda completa se repete a cada 10pi unidades em x. Geometricamente, 0.2 é o coeficiente angular interno que comprime o seno horizontalmente.

Passo 4

Dentro do argumento temos (x-100). Isso equivale a substituir x por x-h em sin(kx), o que desloca o gráfico h unidades para a direita. Aqui h=100, então todo o padrão de onda está deslocado horizontalmente 100 unidades para a direita.

Passo 5

Por fim, o termo +25 fora do seno faz com que toda a curva seja elevada verticalmente em 25 unidades. Isso significa que a linha média da oscilação, que originalmente ficaria em y=0, passa a estar em y=25. Geometricamente, 25 é o deslocamento vertical para cima.

Resposta

A constante 37 é a amplitude (esticamento vertical),
0.2 determina o período T=10pi (compressão horizontal),
100 é o deslocamento horizontal para a direita e
25 é o deslocamento vertical para cima.

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