Calcule as seguintes integrais:
  1. integral cos (ln raizx) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cosl(lnraizxr),dx
O conteúdo envolvido é técnica de mudança de variável em integrais e uso de integração de funções do tipo e^tcos(at).

Passo 2

Primeiro, observe que
lnraizx=tfrac12ln x
Assim a integral fica
integral cosl(tfrac12ln xr),dx

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t=ln x, dt=dxx ;Longrightarrow; dx = e^t,dt
Como tfrac12ln x=tfrac12,t, a integral transforma-se em
integral cosl(tfrac12,tr),e^t,dt

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão
integral e^tcos(a t),dt =e^ta^2+1l(cos(a t)+asin(a t)r)+C
Aqui a=tfrac12, logo a^2+1=tfrac14+1=tfrac54. Substituindo,
integral e^tcosl(tfrac12tr),dt =e^ttfrac54l(cosl(tfrac12tr) +tfrac12sinl(tfrac12tr)r)+C =45e^tl(cosl(tfrac12tr) +tfrac12sinl(tfrac12tr)r)+C

Passo 5

Voltando à variável x, temos e^t=x e tfrac12t=lnraizx. Assim
integral cosl(lnraizxr),dx =4x5l(cos(lnraizx) +tfrac12sin(lnraizx)r)+C
Expandindo,
4x5cos(lnraizx) +2x5sin(lnraizx) +C

Resposta

integral cosl(lnraizxr),dx =4x5cos(lnraizx) +2x5sin(lnraizx) +C

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