8.3D Passe para forma cartesiana F(x, y)=0 e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(f) r=5+2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva polar
r = 5 + 2costheta
em uma equação cartesiana F(x,y)=0 e, em seguida, esboçar o gráfico. Para isso vamos usar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas:
r &= raizx^2 + y^2, costheta &= xr

Passo 2

Começamos substituindo costheta = x/r em r = 5 + 2costheta:
r = 5 + 2xr
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
r^2 = 5r + 2x
Agora usamos r^2 = x^2 + y^2 e r = raizx^2 + y^2:
x^2 + y^2 = 5raizx^2 + y^2 + 2x
Levando todos os termos para um lado, a forma cartesiana fica
x^2 + y^2 - 2x - 5raizx^2 + y^2 ;=;0
Se quisermos eliminar a raiz podemos isolar e elevar ao quadrado:
l(x^2 + y^2 - 2xr)^2 ;=;25,(x^2 + y^2)

Passo 3

Para esboçar o gráfico, note que r=5+2costheta é um limacão sem laço interior (porque 5>2), simétrico em relação ao eixo x. Alguns valores notáveis:
theta=0 &implies r=5+2=7(intercepto em (7,0)), theta=pi &implies r=5-2=3(intercepto em (-3,0)), theta=tfracpi2,;tfrac3pi2 &implies r=5(pontos (0,5) e (0,-5))
O contorno apresenta uma pequena “dentada” voltada para a esquerda, sem se fechar em laço.

Resposta

A forma cartesiana é
x^2 + y^2 - 2x - 5raizx^2 + y^2 = 0,
ou equivalentemente
l(x^2 + y^2 - 2xr)^2 = 25,(x^2 + y^2)
O gráfico é um limacão convexo (dimpled limacon) com interceptos em (7,0), (-3,0), (0,5) e (0,-5), simétrico em relação ao eixo x.

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