Q 28 Com base na qauestão anterior e completando quadrado (quando necessário), determine:
integral xx^2+6 x+9 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xx^2+6x+9,dx
usando, se necessário, o método de completar quadrado. O conteúdo aqui é integração de função racional simples, em que primeiro vamos reescrever o denominador como um quadrado perfeito e depois decompor o numerador para obter termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Observe que
x^2+6x+9 = (x+3)^2,
ou seja, o denominador já é um quadrado perfeito.

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de x+3:
x = (x+3) - 3
Logo,
x(x+3)^2 = (x+3)-3(x+3)^2 = x+3(x+3)^2 ;-; 3(x+3)^2 = 1x+3 ;-; 3(x+3)^2

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 1x+3,dx = lnl|x+3r| e integral 3(x+3)^2,dx = 3integral (x+3)^-2,dx = 3l[-(x+3)^-1r] = -3x+3
Como apareceu um sinal negativo na decomposição, temos
integral x(x+3)^2,dx = lnl|x+3r| ;-;gl(-3x+3gr) = lnl|x+3r| + 3x+3 + C

Resposta

integral xx^2+6x+9,dx = lnl|x+3r| + 3x+3 + C

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