Exercício 3.7.5. Para cada item, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas.
y=x^2 e y=x^3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região entre as curvas y=x^2 e y=x^3. O conteúdo principal aqui é o método das cascas cilíndricas, que diz que, ao girar uma faixa vertical em x de largura dx, temos uma casca de raio x, altura dada pela diferença das funções, e espessura dx.

Passo 2

Precisamos saber onde as curvas se encontram para determinar os limites de integração. Resolvendo
x^2 = x^3
temos
x^2(1 - x)=0
logo as interseções ocorrem em x=0 e x=1.

Passo 3

Para 0<= x<=1, vale x^3<= x^2. Portanto, a altura da casca é
a<ura = ysuperior - yinferior = x^2 - x^3
O raio da casca é x.

Passo 4

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume é
V = 2pi integral0^1 (raio),( a<ura ),dx = 2pi integral0^1 xl(x^2 - x^3r),dx

Passo 5

Dentro do integral,
xl(x^2 - x^3r)=x^3 - x^4,
então
V = 2pi integral0^1 (x^3 - x^4),dx = 2pi [x^44 - x^55]0^1 = 2pil(tfrac14-tfrac15r) = 2picdottfrac120

Resposta

V = pi10

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