Exercício 3.7.5. Para cada item, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas.
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região entre as curvas
e
. O conteúdo principal aqui é o método das cascas cilíndricas, que diz que, ao girar uma faixa vertical em
de largura
, temos uma casca de raio
, altura dada pela diferença das funções, e espessura
.
Passo 2
Precisamos saber onde as curvas se encontram para determinar os limites de integração. Resolvendo
temos
logo as interseções ocorrem em
e
.
Passo 3
Para
, vale
. Portanto, a altura da casca é
O raio da casca é
.
Passo 4
Pelo método das cascas cilíndricas, o volume é
Passo 5
Dentro do integral,
então