Calcule as seguintes integrais:
n) integral cos (ln (1x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral cosl(lnl(tfrac1xr)r),dx.
O conteúdo aqui é técnica de substituição para simplificar o logaritmo e usar a integral de e^tcos t.

Passo 2

Primeiro note que
lnl(tfrac1xr)=-ln x
e como cos é par,
cos(-ln x)=cos(ln x).
Assim a integral vira
integral cos(ln x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
t = ln x, x = e^t, dx = e^t,dt
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integral cos(ln x),dx = integral cos(t),e^t,dt

Passo 4

Agora calculamos
integral e^tcos t,dt
Usando a fórmula
integral e^atcos(bt),dt =e^ata^2+b^2l(acos(bt)+bsin(bt)r),
com a=1 e b=1, obtemos
integral e^tcos t,dt = e^t2l(cos t + sin tr)

Passo 5

Voltando à variável x, temos e^t=x e t=ln x. Substituindo na expressão anterior chega-se à primitiva
F(x)=x2l(cos(ln x)+sin(ln x)r)

Resposta

x2l(cos(ln x)+sin(ln x)r)+C

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