Calcule as seguintes integrais:
b) integral x^2 sen(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2,sen(4x),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos aplicar a parte duas vezes, primeiro para reduzir o grau de x^2 e depois para resolver o termo que sobra.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = sen(4x),dx
Então
du = 2x,dx, v = integral sen(4x),dx = -14cos(4x)
Aplicando a fórmula,
integral x^2sen(4x),dx = u,v - integral v,du = -x^24cos(4x) - integrall(-14cos(4x)r),2x,dx = -x^24cos(4x) +12integral xcos(4x),dx

Passo 3

Agora calculamos
integral xcos(4x),dx
por partes de novo, com
u = x, dv = cos(4x),dx ;Longrightarrow; du = dx, v = integral cos(4x),dx = 14sen(4x)
Logo,
integral xcos(4x),dx = u,v - integral v,du = x4sen(4x) - integral 14sen(4x),dx = x4sen(4x) +116cos(4x)

Passo 4

Substituindo de volta em
-tfracx^24cos(4x)+tfrac12integral xcos(4x),dx,
temos
integral x^2sen(4x),dx = -x^24cos(4x) +12l(x4sen(4x)+116cos(4x)r) + C
Simplificando os coeficientes,
integral x^2sen(4x),dx = -x^24cos(4x) +x8sen(4x) +132cos(4x) + C = x8sen(4x) +1-8x^232cos(4x) + C

Resposta

boxed integral x^2sen(4x),dx = x8sen(4x) +1-8x^232cos(4x) + C

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