Q 28 Com base na qauestão anterior e completando quadrado (quando necessário), determine:
integral x+5raiz2 x^2+4 x+3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral x+5raiz2x^2+4x+3,dx
O conteúdo principal aqui é decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e parte remanescente, e em seguida tratar a parte que fica com 1/raizdots completando o quadrado.

Passo 2

Escrevemos
x+5 = 14(4x+4) + 4,
pois tfrac14(4x+4)=x+1 e (x+1)+4=x+5. Assim
I = integral tfrac14(4x+4) + 4raiz2x^2+4x+3,dx = 14integral 4x+4raiz2x^2+4x+3,dx ;+; 4integral 1raiz2x^2+4x+3,dx

Passo 3

Para a primeira integral note que u=2x^2+4x+3 tem du=(4x+4),dx. Logo
14integral 4x+4raizu,dx = 14integral duraizu = 14cdot 2raizu = 12,raiz2x^2+4x+3

Passo 4

Para a segunda integral completamos o quadrado no radicando:
2x^2+4x+3 = 2l(x^2+2xr)+3 =2l((x+1)^2-1r)+3 =2(x+1)^2+1
Fazendo t = x+1, dt=dx, obtemos
integral dxraiz2x^2+4x+3 = integral dtraiz2t^2+1
Usamos a fórmula padrão
integral dtraiza^2t^2+1 = 1aarsinh(a,t),
aqui com a=raiz2. Logo
integral dtraiz2t^2+1 = 1raiz2;arsinhl(raiz2,tr) = 1raiz2;arsinhl(raiz2(x+1)r)
Multiplicando pelo fator 4 que tínhamos:
4integral dxraiz2x^2+4x+3 = 4raiz2;arsinhl(raiz2(x+1)r) =2raiz2;arsinhl(raiz2(x+1)r)

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a antiderivada geral
I = 12,raiz2x^2+4x+3 ;+;2raiz2,arsinhl(raiz2(x+1)r) ;+;C
Opcionalmente, usando arsinh(y)=lnl(y+raizy^2+1r), pode-se escrever também
I = 12raiz2x^2+4x+3 +2raiz2,ln!l(raiz2(x+1)+raiz2x^2+4x+3r) + C

Resposta

boxed integral x+5raiz2x^2+4x+3,dx = 12,raiz2x^2+4x+3 +2raiz2,arsinhl(raiz2(x+1)r) + C

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