Calcule as seguintes integrais:
59) integral y+3(3-y)^3 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral y+3(3-y)^3,dy
O conteúdo é integração de função racional por substituição simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3 - y, du = -,dy, y = 3 - u, y+3 = (3 - u) + 3 = 6 - u

Passo 3

Substituindo em termos de u:
integral y+3(3-y)^3,dy = integral 6 - uu^3l(-dur) = integrall(-6u^-3 + u^-2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral -6u^-3,du = -6cdotu^-2-2 = 3u^-2,
integral u^-2,du = u^-1-1 = -u^-1
Logo o primitivo em u é
3u^-2 - u^-1 + C

Passo 5

Voltando para y usando u = 3 - y:
3(3-y)^-2 - (3-y)^-1 + C = 3(3-y)^2 - 13-y + C
Note que
3(3-y)^2 - 13-y = 3 - (3 - y)(3-y)^2 = y(3-y)^2

Resposta

y(3-y)^2 + C

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