8.3D Passe para forma cartesiana F(x, y)=0 e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(d) r=a cos theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva polar
r = a costheta
para uma forma cartesiana F(x,y)=0 e, depois, esboçar seu gráfico. Vamos usar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Lembrando que em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta, r^2 = x^2 + y^2
Como a curva é dada por r = acostheta, multiplico ambos os lados por r:
rcdot r = acosthetacdot r Longrightarrow r^2 = a,(rcostheta) Longrightarrow x^2 + y^2 = a,x
Logo, a forma cartesiana é
x^2 + y^2 - a,x = 0

Passo 3

Para reconhecer o tipo de curva, completo o quadrado em x:
x^2 - a,x + y^2 = 0 Longrightarrow l(x - tfraca2r)^2 - l(tfraca2r)^2 + y^2 = 0
Longrightarrow l(x - tfraca2r)^2 + y^2 = l(tfraca2r)^2
É a equação de um círculo de centro l(tfraca2,0r) e raio tfraca2.

Passo 4

Em coordenadas polares temos também a condição natural r>=0. Como r=acostheta, isso impõe costheta>=0, ou seja thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Entretanto, o círculo já está totalmente contido no semiplano x>=0, pois centro em x=tfraca2 e raio tfraca2 variam 0<= x<= a. Logo, a curva polar traça todo o círculo.

Passo 5

Esboço: desenhe o círculo de centro l(tfraca2,0r) e raio tfraca2. Ele toca o eixo y em (0,0) e (0,0) (ponto único) e o eixo x também em (a,0).

Resposta

A forma cartesiana é
F(x,y)=x^2+y^2 - a,x = 0,
que equivale ao círculo
l(x - tfraca2r)^2 + y^2 = l(tfraca2r)^2
O gráfico é esse círculo de centro l(tfraca2,0r) e raio tfraca2.

Exercícios relacionados