28^circ ) Questão.

Dada a equação y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=t, tal que y1(t) e y2(t) satisfazem a edo, suponha que y1(t)=t^3 e W(y1(t), y2(t))=1, então determine a sua solução geral da edo dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = t
e informa que uma solução do homogêneo é ,y1(t)=t^3 e que o Wronskiano de (y1,y2) vale 1.
Queremos achar a solução geral usando primeiro a condição W(y1,y2)=1 para descobrir y2 e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Do Wronskiano
W(y1,y2)=y1,y2' - y1',y2 = 1
substituímos y1=t^3 e y1'=3t^2, obtendo a equação para y2:
t^3,y2' - 3t^2,y2 = 1 Long<=ftrightarrow y2' - 3t,y2 = 1t^3
Isto é um linear de primeira ordem com coeficiente ,-3/t. O fator integrante é
mu(t)=expl(-integral 3t,dtr)=t^-3,
de modo que
l(t^-3y2r)' = t^-3cdot 1t^3=t^-6
Integrando,
t^-3y2 = integral t^-6,dt = -tfrac15t^-5 + C
Para escolher a solução fundamental, tomamos C=0, dando
y2(t) = -15,t^-2

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros à equação
y'' + p(t),y' + q(t),y = g(t),
onde g(t)=t. As fórmulas são
u1' = -,y2,gW, u2' = y1,gW,
com W=1.

Passo 4

Calculamos
u1' = -,y2,t = -l(-tfrac15t^-2r),t = tfrac15t^-1,
u1 = integral tfrac15t^-1,dt = tfrac15ln t
E
u2' = y1,t = t^3cdot t = t^4,
u2 = integral t^4,dt = tfrac15t^5

Passo 5

A solução particular vem de
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(tfrac15ln tr)t^3 + l(tfrac15t^5r)l(-tfrac15t^-2r) = tfrac15,t^3ln t ;-;tfrac125,t^3

Passo 6

A solução geral é
y = yh + yp = C1,t^3 + C2l(-tfrac15t^-2r) + tfrac15,t^3ln t - tfrac125,t^3
O termo -tfrac125t^3 pode ser absorvido em C1,t^3, e redefinindo constantes obtemos
y(t)=A,t^3 + B,t^-2 + 15,t^3ln t

Resposta

y(t)=C1,t^3 + C2,t^-2 + 15,t^3ln t

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