) Questão.
Dada a equação
, tal que
e
satisfazem a edo, suponha que
e
, então determine a sua solução geral da edo dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação não homogênea de segunda ordem
e informa que uma solução do homogêneo é
e que o Wronskiano de
vale 1.
Queremos achar a solução geral usando primeiro a condição para descobrir
e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Queremos achar a solução geral usando primeiro a condição
Passo 2
Do Wronskiano
substituímos
e
, obtendo a equação para
:
Isto é um linear de primeira ordem com coeficiente
. O fator integrante é
de modo que
Integrando,
Para escolher a solução fundamental, tomamos
, dando
Passo 3
Agora aplicamos variação de parâmetros à equação
onde
. As fórmulas são
com
.
Passo 4
Calculamos
E
Passo 5
A solução particular vem de
Passo 6
A solução geral é
O termo
pode ser absorvido em
, e redefinindo constantes obtemos