Exercício 1) Discutir a continuidade das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede discutir a continuidade da função
O conteúdo é análise de funções de duas variáveis, mais especificamente determinar o domínio de
, verificar continuidade nos pontos do domínio e estudar o comportamento próximo à fronteira onde
.
Passo 2
Para que
seja real, precisamos ter o argumento do logaritmo positivo:
Logo o domínio de
é
ou seja, os quadrantes I
e III
.
Passo 3
Dentro de
, a função
é contínua e
é contínua para
. Como
é produto de funções contínuas em
,
é contínua em todo ponto de
.
Passo 4
Para ver o que ocorre ao aproximar-se da fronteira
, faça
. Sabe-se que
Logo, sempre que
com
vindo de
, tem-se
Passo 5
Conclui-se que
-
é contínua em . -
não está definida para , mas admite extensão contínua até a fronteira definindo-se nesses pontos.
Resposta
A função é contínua em
. Além disso, ao aproximar-se de pontos com
pela região
,
, de modo que se definirmos
em
obtemos uma extensão contínua até a fronteira.