Exercício 1) Discutir a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=x y ln (x y);

Passo 1

O enunciado pede discutir a continuidade da função
f(x,y)=x,y,ln(xy)
O conteúdo é análise de funções de duas variáveis, mais especificamente determinar o domínio de f, verificar continuidade nos pontos do domínio e estudar o comportamento próximo à fronteira onde xyto0.

Passo 2

Para que f(x,y) seja real, precisamos ter o argumento do logaritmo positivo:
xy>0
Logo o domínio de f é
D=(x,y)inR^2mid xy>0,
ou seja, os quadrantes I (x>0,y>0) e III (x<0,y<0).

Passo 3

Dentro de D, a função g(x,y)=xy é contínua e ln(u) é contínua para u>0. Como f(x,y)=(g(x,y))ln(g(x,y)) é produto de funções contínuas em D, f é contínua em todo ponto de D.

Passo 4

Para ver o que ocorre ao aproximar-se da fronteira xy=0, faça u=xy>0. Sabe-se que
limuto0^+uln u=0
Logo, sempre que (x,y)to(x0,y0) com x0y0=0 vindo de D, tem-se
f(x,y)=uln uto0

Passo 5

Conclui-se que
  1. f é contínua em (x,y)mid xy>0.
  2. f não está definida para xy<=0, mas admite extensão contínua até a fronteira xy=0 definindo-se f(x,y)=0 nesses pontos.

Resposta

A função é contínua em (x,y)inR^2:xy>0. Além disso, ao aproximar-se de pontos com xy=0 pela região xy>0, f(x,y)to0, de modo que se definirmos f(x,y)=0 em xy=0 obtemos uma extensão contínua até a fronteira.

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