Exercício 1) Discutir a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=cl9-x^2-y^2 & se x^2+y^2 <= 4 0 & se x^2+y^2>4.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= 9 - x^2 - y^2, & se x^2+y^2 <= 4, 0, & se x^2+y^2 > 4,
e pede para discutir a continuidade. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes: precisamos verificar se cada ramo é contínuo em sua região e depois checar os pontos de fronteira x^2+y^2=4.

Passo 2

Dentro da região x^2+y^2<4, a função é 9 - x^2 - y^2, que é polinomial em (x,y). Polinômios são contínuos em toda parte, logo f é contínua em (x,y)mid x^2+y^2<4.

Passo 3

Na região externa x^2+y^2>4, a função é constante igual a 0. Funções constantes são contínuas em toda parte, logo f é contínua em (x,y)mid x^2+y^2>4.

Passo 4

Falta checar a fronteira x^2+y^2=4. Se (x0,y0) satisfaz x0^2+y0^2=4, então
f(x0,y0)=9-4=5
Mas ao aproximar (x,y) de (x0,y0) vindo de fora ( x^2+y^2>4), temos f(x,y)=0 para todos esses pontos e, portanto,
lim(x,y)to(x0,y0),,x^2+y^2>4f(x,y)=0neq 5
Como o limite não coincide com o valor da função na fronteira, f é descontínua em todo ponto com x^2+y^2=4.

Resposta

A função f é contínua em (x,y)mid x^2+y^2<4 e em (x,y)mid x^2+y^2>4, mas é descontínua em todos os pontos da circunferência x^2+y^2=4.

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