1.28
Determine as componentes esféricas do vetor de P(2,-3,4) a Q(-3,2,5).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes esféricas do vetor que vai de P(2,-3,4) até Q(-3,2,5).\n
Informações dadas:
  • Coordenadas de P: (2,-3,4).
  • Coordenadas de Q: (-3,2,5).
  • Queremos as componentes do vetor \overrightarrow{PQ} na base esférica \{\hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi\} avaliadas no ponto onde o vetor está aplicado (aqui, em P).

Passo 2

Calcular o vetor em coordenadas cartesianas \overrightarrow{PQ} subtraindo as coordenadas:
\overrightarrow{PQ}=Q-P = (-3-2,\;2-(-3),\;5-4)=(-5,\,5,\,1).

Passo 3

Explicar a base esférica e como obter componentes:
  • Usamos a convenção padrão (física/matemática): \theta é o ângulo polar contado a partir do eixo z (ou seja, \theta=0 no eixo +z), e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy medido desde +x em direção a +y.
  • As direções unitárias em função de \theta,\varphi são
\hat{e}_r=(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta),
\hat{e}_\theta=(\cos\theta\cos\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\;-\sin\theta),
\hat{e}_\varphi =(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0).
  • As componentes esféricas de um vetor \vec{V} são obtidas por produto escalar:
V_r=\vec{V}\cdot\hat{e}_r,\quad V_\theta=\vec{V}\cdot\hat{e}_\theta,\quad V_\varphi=\vec{V}\cdot\hat{e}_\varphi.
Vou avaliar \hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi no ponto P, portanto preciso de \theta_P e \phi_P (e de \sin\theta_P,\cos\theta_P,\sin\phi_P,\cos\phi_P).

Passo 4

Calcular \theta_P,\phi_P e suas funções trigonométricas usando as coordenadas de P(2,-3,4).
  • Primeiro o raio em P:
r_P=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
  • Como \cos\theta_P=\dfrac{z}{r} e \sin\theta_P=\sqrt{1-\cos^{2}\theta_P}, temos
\cos\theta_P=\dfrac{4}{\sqrt{29}},\qquad \sin\theta_P=\sqrt{1-\dfrac{16}{29}}=\sqrt{\dfrac{13}{29}}=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}.
  • No plano xy, \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}. Portanto
\cos\phi_P=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}},\qquad \sin\phi_P=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\dfrac{-3}{\sqrt{13}}.

Passo 5

Montar as componentes das direções unitárias em P, substituindo os valores calculados:
  • Para \hat{e}_r:
\hat{e}_r=\big(\sin\theta_P\cos\phi_P,\;\sin\theta_P\sin\phi_P,\;\cos\theta_P\big).
Substituindo \sin\theta_P=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}, \cos\phi_P=\dfrac{2}{\sqrt{13}}, \sin\phi_P=\dfrac{-3}{\sqrt{13}}, \cos\theta_P=\dfrac{4}{\sqrt{29}},
\hat{e}_r=\left(\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}},\;\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\dfrac{-3}{\sqrt{13}},\;\dfrac{4}{\sqrt{29}}\right) =\left(\dfrac{2}{\sqrt{29}},\;-\dfrac{3}{\sqrt{29}},\;\dfrac{4}{\sqrt{29}}\right).
(Observação: isso é apenas o vetor posição de P normalizado.)
  • Para \hat{e}_\theta:
\hat{e}_\theta=\big(\cos\theta_P\cos\phi_P,\;\cos\theta_P\sin\phi_P,\;-\sin\theta_P\big).
Substituindo,
\hat{e}_\theta=\left(\dfrac{4}{\sqrt{29}}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}},\;\dfrac{4}{\sqrt{29}}\cdot\dfrac{-3}{\sqrt{13}},\;-\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\right) =\left(\dfrac{8}{\sqrt{29}\sqrt{13}},\;-\dfrac{12}{\sqrt{29}\sqrt{13}},\;-\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\right).
  • Para \hat{e}_\varphi:
\hat{e}_\varphi=\big(-\sin\phi_P,\;\cos\phi_P,\;0\big)=\left(-\dfrac{-3}{\sqrt{13}},\;\dfrac{2}{\sqrt{13}},\;0\right)=\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}},\;\dfrac{2}{\sqrt{13}},\;0\right).

Passo 6

Calcular as componentes esféricas como produto escalar entre \overrightarrow{PQ}=(-5,5,1) e cada direção unitária:
  • Componente radial:
V_r=\overrightarrow{PQ}\cdot\hat{e}_r = (-5)\cdot\dfrac{2}{\sqrt{29}} + 5\cdot\left(-\dfrac{3}{\sqrt{29}}\right) + 1\cdot\dfrac{4}{\sqrt{29}}.
Fatorando \dfrac{1}{\sqrt{29}}:
V_r=\dfrac{1}{\sqrt{29}}\big(-10-15+4\big)=\dfrac{-21}{\sqrt{29}}.
  • Componente polar \theta:
V_\theta=\overrightarrow{PQ}\cdot\hat{e}_\theta = (-5)\cdot\dfrac{8}{\sqrt{29}\sqrt{13}} + 5\cdot\left(-\dfrac{12}{\sqrt{29}\sqrt{13}}\right) + 1\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\right).
Colocando sobre o mesmo denominador \sqrt{29}\sqrt{13}:
V_\theta=\dfrac{-40-60-13}{\sqrt{29}\sqrt{13}}=\dfrac{-113}{\sqrt{29}\sqrt{13}}.
Podemos também escrever \sqrt{29}\sqrt{13}=\sqrt{377}, logo V_\theta=-\dfrac{113}{\sqrt{377}}.
  • Componente azimutal \varphi:
V_\varphi=\overrightarrow{PQ}\cdot\hat{e}_\varphi = (-5)\cdot\dfrac{3}{\sqrt{13}} + 5\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}} + 1\cdot 0 =\dfrac{-15+10}{\sqrt{13}}=\dfrac{-5}{\sqrt{13}}.

Resposta

V_r=-\dfrac{21}{\sqrt{29}}
V_\theta=-\dfrac{113}{\sqrt{29}\sqrt{13}}=-\dfrac{113}{\sqrt{377}}
V_\varphi=-\dfrac{5}{\sqrt{13}}

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