1.26 (a) Determine uma expressão para a, em coordenadas esféricas em P(r=4 ; \theta=0,2 \pi ; \varphi=0,8 \pi). (b) Expresse \mathbf{a}_{y} em componentes cartesianas em $P.

Passo 1

O enunciado dá um ponto P em coordenadas esféricas e pede duas coisas:
  1. (a) “Determine uma expressão para a, em coordenadas esféricas em P(r=4 ; \theta=0,2\pi ; \varphi=0,8\pi).”
  2. (b) “Expresse \mathbf{a}_{y} em componentes cartesianas em P.”
Informações fornecidas:
r=4,\qquad \theta=0{,}2\pi\quad(\text{azimute}),\qquad \varphi=0{,}8\pi\quad(\text{polar})
Observação importante (ambiguidade do enunciado):
  • O enunciado usa o símbolo a sem subíndice. Em exercícios de coordenadas esféricas é muito comum pedir a expressão do versor radial \mathbf{a}_r no ponto P. Vou adotar essa interpretação: em (a) vou determinar o versor radial \mathbf{a}_r expressado em componentes cartesianas avaliadas em P.
  • Em (b) vou interpretar literalmente: escrever a unidade cartesiana \mathbf{a}_y em componentes cartesianas no ponto P (isto é trivialmente a componente padrão (0,1,0) em qualquer ponto). Se você queria outra coisa (por exemplo decompor \mathbf{a}_y na base esférica em P), eu também mostro como fazer isso nos passos seguintes — mas por ora sigo a leitura direta do enunciado.

Passo 2

Rápida revisão (passo-a-passo, sem pular etapas) das fórmulas que vamos usar. Em coordenadas esféricas com convenção:
  • \theta = ângulo azimutal no plano xy (vai de 0 a 2\pi),
  • \varphi = ângulo polar medido a partir do eixo +z (vai de 0 a \pi),
os versores unitários em função de \theta e \varphi (expressos em componentes cartesianas na base \{\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z\}) são:
\mathbf{a}_r=\sin\varphi\cos\theta\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\sin\theta\,\mathbf{a}_y+\cos\varphi\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\varphi=\cos\varphi\cos\theta\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\sin\theta\,\mathbf{a}_y-\sin\varphi\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\theta=-\sin\theta\,\mathbf{a}_x+\cos\theta\,\mathbf{a}_y.
Explicação do que cada letra significa:
  • \mathbf{a}_r aponta radialmente para fora desde a origem até o ponto,
  • \mathbf{a}_\varphi aponta no sentido de aumentar \varphi (desce do polo norte em direção ao equador),
  • \mathbf{a}_\theta aponta no sentido de aumentar \theta (circunda o eixo z).
    Essas fórmulas vêm de escrever o vetor posição \mathbf{r}=r\sin\varphi\cos\theta\,\mathbf{a}_x+r\sin\varphi\sin\theta\,\mathbf{a}_y+r\cos\varphi\,\mathbf{a}_z e normalizar as derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular os valores trigonométricos necessários para \theta=0{,}2\pi e \varphi=0{,}8\pi.
Primeiro note:
\theta=0{,}2\pi = \frac{\pi}{5}=36^\circ,\qquad \varphi=0{,}8\pi=\frac{4\pi}{5}=144^\circ.
Usamos identidades para relacionar os ângulos:
\cos(144^\circ)=\cos(180^\circ-36^\circ)=-\cos36^\circ,\qquad \sin(144^\circ)=\sin36^\circ.
As expressões exatas conhecidas são:
\cos36^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx0{,}809016,\qquad \sin36^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\approx0{,}587785.
Então, numericamente:
\cos\theta=\cos36^\circ\approx0{,}809016,\quad \sin\theta=\sin36^\circ\approx0{,}587785,
\cos\varphi=\cos144^\circ\approx-0{,}809016,\quad \sin\varphi=\sin144^\circ\approx0{,}587785.
(Usei aproximações com 6 casas decimais para facilitar a conta manual na prova; se quiser, posso manter as expressões exatas em radicais.)

Passo 4

Agora substituímos esses valores na fórmula de \mathbf{a}_r:
\mathbf{a}_r=\sin\varphi\cos\theta\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\sin\theta\,\mathbf{a}_y+\cos\varphi\,\mathbf{a}_z.
Calculamos cada componente passo a passo (usando as aproximações acima):
  • componente x:
\sin\varphi\cos\theta \approx 0{,}587785\times0{,}809016 \approx 0{,}475528.
  • componente y:
\sin\varphi\sin\theta \approx 0{,}587785\times0{,}587785 \approx 0{,}345492.
  • componente z:
\cos\varphi \approx -0{,}809016.
Logo:
\mathbf{a}_r(P)\approx 0{,}475528\,\mathbf{a}_x+0{,}345492\,\mathbf{a}_y-0{,}809016\,\mathbf{a}_z.
Se preferir as formas exatas em termos de \cos36^\circ e \sin36^\circ:
\mathbf{a}_r(P)=\sin36^\circ\cos36^\circ\,\mathbf{a}_x+(\sin36^\circ)^2\,\mathbf{a}_y-\cos36^\circ\,\mathbf{a}_z,
com \cos36^\circ=\dfrac{\sqrt5+1}{4} e \sin36^\circ=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}.

Passo 5

Agora a parte (b): expressar \mathbf{a}_y em componentes cartesianas em P.
Um comentário conceitual: o versor cartesiano \mathbf{a}_y (a unidade na direção +y) é um vetor fixo no espaço — suas componentes cartesianas não dependem do ponto P. Em coordenadas cartesianas:
\mathbf{a}_y = 0\,\mathbf{a}_x + 1\,\mathbf{a}_y + 0\,\mathbf{a}_z.
Isto vale em todo o espaço, inclusive no ponto P. Se o objetivo fosse decompor \mathbf{a}_y na base esférica \{\mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\varphi,\mathbf{a}_\theta\} avaliada em P, procederíamos calculando produtos escalares (\mathbf{a}_y\cdot\mathbf{a}_r),(\mathbf{a}_y\cdot\mathbf{a}_\varphi),(\mathbf{a}_y\cdot\mathbf{a}_\theta) usando as expressões numéricas que obtivemos; posso fazer isso também se você quiser. Mas, seguindo o enunciado literal, a representação cartesiana é a acima.

Resposta

(a) \mathbf{a}=\mathbf{a}_r(P)\approx 0{,}475528\,\mathbf{a}_x+0{,}345492\,\mathbf{a}_y-0{,}809016\,\mathbf{a}_z\n
(b) \mathbf{a}_y=0\,\mathbf{a}_x+1\,\mathbf{a}_y+0\,\mathbf{a}_z

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