1.26 (a) Determine uma expressão para a, em coordenadas esféricas em
. (b) Expresse
em componentes cartesianas em $P.
Passo 1
O enunciado dá um ponto
em coordenadas esféricas e pede duas coisas:
- (a) “Determine uma expressão para
, em coordenadas esféricas em .” - (b) “Expresse
em componentes cartesianas em .”
Informações fornecidas:
Observação importante (ambiguidade do enunciado):
- O enunciado usa o símbolo
sem subíndice. Em exercícios de coordenadas esféricas é muito comum pedir a expressão do versor radial no ponto . Vou adotar essa interpretação: em (a) vou determinar o versor radial expressado em componentes cartesianas avaliadas em . - Em (b) vou interpretar literalmente: escrever a unidade cartesiana
em componentes cartesianas no ponto (isto é trivialmente a componente padrão em qualquer ponto). Se você queria outra coisa (por exemplo decompor na base esférica em ), eu também mostro como fazer isso nos passos seguintes — mas por ora sigo a leitura direta do enunciado.
Passo 2
Rápida revisão (passo-a-passo, sem pular etapas) das fórmulas que vamos usar. Em coordenadas esféricas com convenção:
-
= ângulo azimutal no plano (vai de a ), -
= ângulo polar medido a partir do eixo (vai de a ),
os versores unitários em função de
e
(expressos em componentes cartesianas na base
) são:
Explicação do que cada letra significa:
-
aponta radialmente para fora desde a origem até o ponto, -
aponta no sentido de aumentar (desce do polo norte em direção ao equador), -
aponta no sentido de aumentar (circunda o eixo ).
Essas fórmulas vêm de escrever o vetor posiçãoe normalizar as derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular os valores trigonométricos necessários para
e
.
Primeiro note:
Usamos identidades para relacionar os ângulos:
As expressões exatas conhecidas são:
Então, numericamente:
(Usei aproximações com 6 casas decimais para facilitar a conta manual na prova; se quiser, posso manter as expressões exatas em radicais.)
Passo 4
Agora substituímos esses valores na fórmula de
:
Calculamos cada componente passo a passo (usando as aproximações acima):
- componente
:
- componente
:
- componente
:
Logo:
Se preferir as formas exatas em termos de
e
:
com
e
.
Passo 5
Agora a parte (b): expressar
em componentes cartesianas em
.
Um comentário conceitual: o versor cartesiano
(a unidade na direção
) é um vetor fixo no espaço — suas componentes cartesianas não dependem do ponto
. Em coordenadas cartesianas:
Isto vale em todo o espaço, inclusive no ponto
. Se o objetivo fosse decompor
na base esférica
avaliada em
, procederíamos calculando produtos escalares
usando as expressões numéricas que obtivemos; posso fazer isso também se você quiser. Mas, seguindo o enunciado literal, a representação cartesiana é a acima.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)