Expresse o vetor unitário
em componentes esféricas no ponto:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para expressar o vetor unitário
(o versor na direção
) em componentes esféricas no ponto dado. Dados fornecidos:
Pergunta: escrever
como combinação linear dos versores esféricos
,
e
naquele ponto (ou seja, encontrar os coeficientes das componentes esféricas). Observação: o valor de
não altera a direção dos versores unitários, então só
e
importam para a expressão direcional.
Passo 2
Vou relembrar e explicar como são definidos os versores esféricos em termos dos versores cartesianos
(que correspondem a
). As definições padrão (e úteis para provas) são:
Explicação breve do que cada coisa significa:
-
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ). -
é o ângulo azimutal (no plano , a partir do eixo ). -
aponta radialmente para fora, aponta para a direção de aumento de (descendo do polo), e aponta para a direção de aumento de (no sentido anti-horário visto do eixo ).
Essas três direções formam uma base ortonormal em cada ponto (ou seja, mutuamente perpendiculares e de módulo 1).
Passo 3
Para escrever
na base esférica podemos projetar
sobre cada versor esférico usando produto escalar. Como a base esférica é ortonormal, o coeficiente na direção
é
, e assim por diante. Calculamos:
Portanto a relação geral (fórmula importante para decorar) é
Comentário didático: essa fórmula vem direto das fórmulas do Passo 2, percebendo que os coeficientes são justamente as componentes de
ao tomar produto escalar com cada versor esférico.
Passo 4
Agora substituímos
e
na fórmula. Primeiro a forma simbólica:
Se quisermos valores numéricos aproximados (uso de calculadora recomendado para funções trigonométricas não especiais), use:
Multiplicando:
Logo a expressão numérica aproximada é
Passo 5
Resumo e dica para prova: memorize a fórmula geral
pois ela resolve rapidamente questões desse tipo — basta substituir
e
. Se o exercício pedir valor numérico, calcule as funções trigonométricas; se for só simbólico, entregue a expressão em termos de
e
.