Expresse o vetor unitário \mathbf{a}_{x} em componentes esféricas no ponto:
(a) r=2, \theta=1 \mathrm{rad}, \varphi=0,8 \mathrm{rad}

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor unitário \mathbf{a}_{x} (o versor na direção x) em componentes esféricas no ponto dado. Dados fornecidos:
r=2,\quad \theta=1\\ \text{rad},\quad \varphi=0{,}8\\ \text{rad}.
Pergunta: escrever \mathbf{a}_{x} como combinação linear dos versores esféricos \mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta} e \mathbf{e}_{\varphi} naquele ponto (ou seja, encontrar os coeficientes das componentes esféricas). Observação: o valor de r não altera a direção dos versores unitários, então só \theta e \varphi importam para a expressão direcional.

Passo 2

Vou relembrar e explicar como são definidos os versores esféricos em termos dos versores cartesianos \mathbf{\hat{i}},\mathbf{\hat{j}},\mathbf{\hat{k}} (que correspondem a \mathbf{a}_{x},\mathbf{a}_{y},\mathbf{a}_{z}). As definições padrão (e úteis para provas) são:
\mathbf{e}_{r}=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{\hat{i}}+\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{\hat{j}}+\cos\theta\,\mathbf{\hat{k}},
\mathbf{e}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{\hat{i}}+\cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{\hat{j}}-\sin\theta\,\mathbf{\hat{k}},
\mathbf{e}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\mathbf{\hat{i}}+\cos\varphi\,\mathbf{\hat{j}}.
Explicação breve do que cada coisa significa:
  • \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z).
  • \varphi é o ângulo azimutal (no plano xy, a partir do eixo x).
  • \mathbf{e}_{r} aponta radialmente para fora, \mathbf{e}_{\theta} aponta para a direção de aumento de \theta (descendo do polo), e \mathbf{e}_{\varphi} aponta para a direção de aumento de \varphi (no sentido anti-horário visto do eixo z).
    Essas três direções formam uma base ortonormal em cada ponto (ou seja, mutuamente perpendiculares e de módulo 1).

Passo 3

Para escrever \mathbf{\hat{i}}=\mathbf{a}_{x} na base esférica podemos projetar \mathbf{\hat{i}} sobre cada versor esférico usando produto escalar. Como a base esférica é ortonormal, o coeficiente na direção \mathbf{e}_{r} é \mathbf{\hat{i}}\cdot\mathbf{e}_{r}, e assim por diante. Calculamos:
\mathbf{\hat{i}}\cdot\mathbf{e}_{r}=\sin\theta\cos\varphi,
\mathbf{\hat{i}}\cdot\mathbf{e}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi,
\mathbf{\hat{i}}\cdot\mathbf{e}_{\varphi}=-\sin\varphi.
Portanto a relação geral (fórmula importante para decorar) é
\mathbf{a}_{x}=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{e}_{r}+\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{e}_{\theta}-\sin\varphi\,\mathbf{e}_{\varphi}.
Comentário didático: essa fórmula vem direto das fórmulas do Passo 2, percebendo que os coeficientes são justamente as componentes de \mathbf{\hat{i}} ao tomar produto escalar com cada versor esférico.

Passo 4

Agora substituímos \theta=1 e \varphi=0{,}8 na fórmula. Primeiro a forma simbólica:
\mathbf{a}_{x}=\sin(1)\cos(0{,}8)\,\mathbf{e}_{r}+\cos(1)\cos(0{,}8)\,\mathbf{e}_{\theta}-\sin(0{,}8)\,\mathbf{e}_{\varphi}.
Se quisermos valores numéricos aproximados (uso de calculadora recomendado para funções trigonométricas não especiais), use:
\sin(1)\approx 0{,}841470985,\quad \cos(1)\approx 0{,}540302306,
\sin(0{,}8)\approx 0{,}717356091,\quad \cos(0{,}8)\approx 0{,}696706709.
Multiplicando:
\sin(1)\cos(0{,}8)\approx 0{,}586259,
\cos(1)\cos(0{,}8)\approx 0{,}376433,
-\sin(0{,}8)\approx -0{,}717356.
Logo a expressão numérica aproximada é
\mathbf{a}_{x}\approx 0{,}586259\,\mathbf{e}_{r}+0{,}376433\,\mathbf{e}_{\theta}-0{,}717356\,\mathbf{e}_{\varphi}.

Passo 5

Resumo e dica para prova: memorize a fórmula geral
\mathbf{a}_{x}=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{e}_{r}+\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{e}_{\theta}-\sin\varphi\,\mathbf{e}_{\varphi},
pois ela resolve rapidamente questões desse tipo — basta substituir \theta e \varphi. Se o exercício pedir valor numérico, calcule as funções trigonométricas; se for só simbólico, entregue a expressão em termos de \sin e \cos.

Resposta

\displaystyle \mathbf{a}_{x}=\sin(1)\cos(0{,}8)\,\mathbf{e}_{r}+\cos(1)\cos(0{,}8)\,\mathbf{e}_{\theta}-\sin(0{,}8)\,\mathbf{e}_{\varphi}\n
\displaystyle \approx 0{,}586259\,\mathbf{e}_{r}+0{,}376433\,\mathbf{e}_{\theta}-0{,}717356\,\mathbf{e}_{\varphi}

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