1.24 No ponto P(-3,-4,5), expresse o vetor que se dirige de P a Q(2,0,-1) em: ( a ) coordenadas retangulares; (b) coordenadas cilíndricas; (c) coordenadas esféricas. (d) Mostre que cada um destes vetores possui o mesmo módulo.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P(-3,-4,5) e Q(2,0,-1) e pede quatro coisas:
  1. (a) Expressar o vetor que vai de P a Q em coordenadas retangulares.
  2. (b) Expressar esse mesmo vetor em coordenadas cilíndricas.
  3. (c) Expressar esse mesmo vetor em coordenadas esféricas.
  4. (d) Mostrar que cada uma dessas representações tem o mesmo módulo.
Informações relevantes dadas: as coordenadas cartesianas de P e Q acima. Não há figura adicional; tudo que precisamos vem desses pares ordenados.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{PQ} em coordenadas retangulares (cartesianas) usando a regra componente a componente:
\overrightarrow{PQ} = Q - P.
Subtraindo componente a componente temos
\overrightarrow{PQ} = \bigl(2-(-3),\;0-(-4),\;-1-5\bigr).
Fazendo as contas:
\overrightarrow{PQ} = \bigl(5,\;4,\;-6\bigr).
Comentário didático: para formar um vetor que vai de um ponto A(x_A,y_A,z_A) a um ponto B(x_B,y_B,z_B) você sempre faz \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A). É simples e direto — ótimo para a prova.

Passo 3

Calcular o módulo do vetor em coordenadas retangulares (para referência e depois comparar). A fórmula do módulo de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Aplicando a \overrightarrow{PQ}=(5,4,-6):
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{5^{2}+4^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{25+16+36}=\sqrt{77}.
Explicação didática: a fórmula vem do teorema de Pitágoras estendido para 3 dimensões — soma dos quadrados das componentes e depois raiz quadrada.

Passo 4

Passando para coordenadas cilíndricas: lembrar o que são as coordenadas cilíndricas e como converter.
Definição e convenções que vou usar:
  • Coordenadas cilíndricas de um ponto (ou de um vetor posição) são (\rho,\theta,z) com \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \theta=\arctan2(y,x) (ângulo no plano xy) e z igual ao z cartesiano.
  • As unidades de base são \hat{\rho} (direção radial no plano xy), \hat{\theta} (direção tangencial no plano xy) e \hat{z} (vertical). Um vetor geral escreve-se \mathbf{v}=v_{\rho}\,\hat{\rho}+v_{\theta}\,\hat{\theta}+v_{z}\,\hat{z}.
Queremos expressar \overrightarrow{PQ} em componentes cilíndricas. Primeiro encontramos \rho e \theta associados às projeções x=5, y=4:
\rho=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41},
\theta=\arctan2(4,5)=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr).
Agora, para obter v_{\rho} e v_{\theta} em função das componentes cartesianas v_x=5, v_y=4 usamos as fórmulas de rotação de base:
v_{\rho}=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta,
v_{\theta}=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta.
Como \cos\theta=\dfrac{x}{\rho}=\dfrac{5}{\sqrt{41}} e \sin\theta=\dfrac{y}{\rho}=\dfrac{4}{\sqrt{41}}, calculamos:
v_{\rho}=5\cdot\frac{5}{\sqrt{41}}+4\cdot\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{25+16}{\sqrt{41}}=\frac{41}{\sqrt{41}}=\sqrt{41},
v_{\theta}=-5\cdot\frac{4}{\sqrt{41}}+4\cdot\frac{5}{\sqrt{41}}=\frac{-20+20}{\sqrt{41}}=0.
A componente vertical é simplesmente v_{z}= -6.
Portanto, em componentes cilíndricas:
\overrightarrow{PQ}=v_{\rho}\,\hat{\rho}+v_{\theta}\,\hat{\theta}+v_{z}\,\hat{z}=\sqrt{41}\,\hat{\rho}+0\cdot\hat{\theta}-6\,\hat{z},
e como coordenadas cilíndricas do vetor-posição (ou seja, tripla (\rho,\theta,z)):
\bigl(\rho,\theta,z\bigr)=\Bigl(\sqrt{41},\;\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr),\;-6\Bigr).
Observação didática: deu v_{\theta}=0 porque o vetor (5,4) no plano xy está exatamente na direção radial \hat{\rho} correspondente ao ângulo \theta=\arctan(4/5); não há componente tangencial.

Passo 5

Passando para coordenadas esféricas: definir convenções e converter.
Convenções usadas (padrão comum):
  • Coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \theta=\arctan2(y,x) (mesmo azimute do cilindro) e \varphi=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{r}\bigr) (ângulo polar medido a partir do eixo +z).
  • A base unitária é \hat{r} (radial), \hat{\theta} (azimute), \hat{\varphi} (polar), e a forma natural de escrever o vetor posição de um ponto em esféricas é r\,\hat{r} quando o vetor vai da origem até esse ponto.
Primeiro calculemos r e \varphi para o vetor (5,4,-6):
r=\sqrt{5^{2}+4^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{77}.
O ângulo azimutal já tínhamos: \theta=\arctan2(4,5)=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr).
O ângulo polar é
\varphi=\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{z}{r}\biggr)=\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{-6}{\sqrt{77}}\biggr).
Como o vetor \overrightarrow{PQ} parte da origem para o ponto (5,4,-6) (se o tratarmos como vetor livre ancorado na origem), ele é puramente radial na base esférica, logo sua decomposição em componentes esféricas é
\overrightarrow{PQ}=r\,\hat{r}=\sqrt{77}\,\hat{r}.
E a tripla de coordenadas esféricas do vetor-posição é
\bigl(r,\theta,\varphi\bigr)=\Bigl(\sqrt{77},\;\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr),\;\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{-6}{\sqrt{77}}\bigr)\Bigr).
Comentário didático: é comum (e prático) na prova reconhecer que um vetor com coordenadas cartesianas (x,y,z) visto como vetor posição tem componente radial r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} e nenhuma componente angular se você escolher \hat{r} na sua direção.

Passo 6

Mostrar que todos os módulos são iguais:
  • Módulo pela forma cartesiana já calculado:
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{77}.
  • Módulo pela forma cilíndrica (usar componentes v_{\rho}=\sqrt{41}, v_{\theta}=0, v_{z}=-6):
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{v_{\rho}^{2}+v_{\theta}^{2}+v_{z}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{41})^{2}+0^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{41+36}=\sqrt{77}.
  • Módulo pela forma esférica (o vetor é r\,\hat{r}, então o módulo é r):
\|\overrightarrow{PQ}\|=r=\sqrt{77}.
Conclusão: em todas as representações o módulo é \sqrt{77}, como queríamos demonstrar.

Resposta

(a) \overrightarrow{PQ}=(5,4,-6).\n(b) Em componentes cilíndricas \overrightarrow{PQ}=\sqrt{41}\,\hat{\rho}+0\cdot\hat{\theta}-6\,\hat{z} e como tripla \bigl(\rho,\theta,z\bigr)=(\sqrt{41},\arctan(\tfrac{4}{5}),-6).\n(c) Em esféricas \overrightarrow{PQ}=\sqrt{77}\,\hat{r} e como tripla \bigl(r,\theta,\varphi\bigr)=\bigl(\sqrt{77},\arctan(\tfrac{4}{5}),\operatorname{arccos}(\tfrac{-6}{\sqrt{77}})\bigr).\n(d) Em todas as representações o módulo é \sqrt{77}.

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