Uma linha infinita de carga possui densidade linear
. Se dobrarmos a distância de um ponto “P” em relação à linha, o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento “L” que envolve a linha:
A) Reduz-se à metade.
B) Quadruplica.
C) Permanece o mesmo.
D) Reduz-se por um fator de
.
A) Reduz-se à metade.
B) Quadruplica.
C) Permanece o mesmo.
D) Reduz-se por um fator de
Passo 1
O enunciado pede para analisar o que acontece com o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento
que envolve uma linha infinita de carga, quando dobramos a distância de um ponto
em relação à linha.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Linha infinita de carga com densidade linear
. - Superfície gaussiana: um cilindro coaxial com a linha, comprimento
(o cilindro envolve a linha). - A distância de
à linha é dobrada; isto corresponde a aumentar o raio do cilindro de para (assumindo que fica sobre a superfície cilíndrica).
O que se pergunta: ao dobrar a distância (o raio do cilindro), o fluxo através do cilindro: (A) reduz-se à metade; (B) quadruplica; (C) permanece o mesmo; (D) reduz-se por um fator de.
Passo 2
Apresentar a lei de Gauss que vamos usar e explicar cada termo.
A lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por :
A lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por
Explicando os símbolos:
-
é o fluxo elétrico total através da superfície fechada (unidade: ou equivalente). -
é o campo elétrico. -
é o vetor área diferencial apontando para fora da superfície. -
é a carga total contida dentro da superfície fechada. -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
Importante: a lei de Gauss afirma que o fluxo depende apenas da carga encerrada
, não da forma da superfície nem da distância em si — desde que a superfície seja fechada e encerre a carga.
Passo 3
Escolher a superfície gaussiana e explorar a simetria (passo a passo didático).
- Pela simetria de uma linha infinita de carga, o campo elétrico é radial (aponta para fora, perpendicular ao eixo) e tem módulo que depende apenas da distância radial
ao eixo. - O cilindro coaxial é a escolha natural: no casco curvo do cilindro o campo tem direção perpendicular à superfície e tem módulo constante sobre essa superfície; nas tampas (as faces circulares) o campo é paralelo ao eixo, logo
é perpendicular ao vetor área das tampas e o fluxo nessas tampas é zero.
Portanto só precisamos considerar o fluxo através do casco lateral do cilindro. A área do casco é
e, como
é constante em módulo sobre o casco e paralelo a
, o fluxo pelo casco é
Passo 4
Calcular
e aplicar a lei de Gauss; obter expressão do fluxo.
A carga total encerrada pelo cilindro é a densidade linear multiplicada pelo comprimento:
A carga total encerrada pelo cilindro é a densidade linear multiplicada pelo comprimento:
Pela lei de Gauss,
Comparando com a expressão do passo anterior
, pode-se também isolar
e obter
mas o ponto importante aqui é que a expressão de
que acabamos de obter,
não contém
: o raio cancela. Ou seja, o fluxo através do cilindro depende somente de
e de
, não da distância radial
.
Passo 5
Interpretação e conclusão didática — por que dobrar
não muda o fluxo.
- Ao dobrar o raio
de para , duas coisas acontecem: o campo elétrico na superfície externa reduz-se (porque ), mas a área do casco aumenta (porque a área é , proporcional a ). Essas duas variações se cancelam quando se calcula o produto . - Pela lei de Gauss, o fluxo depende apenas da carga encerrada
, que não mudou ao mudar o raio (contanto que a superfície continue envolvendo a linha). Portanto o fluxo permanece o mesmo quando a distância é dobrada.
Dica para a prova: se der uma superfície fechada que envolve a carga, muitas vezes basta dizer "fluxo =
" — não precisa calcular
nem a área se a pergunta for só sobre como o fluxo varia com
.
Resposta
C) Permanece o mesmo.