Uma linha infinita de carga possui densidade linear \lambda. Se dobrarmos a distância de um ponto “P” em relação à linha, o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento “L” que envolve a linha:
A) Reduz-se à metade.
B) Quadruplica.
C) Permanece o mesmo.
D) Reduz-se por um fator de 1 / \mathrm{r}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o que acontece com o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L que envolve uma linha infinita de carga, quando dobramos a distância de um ponto P em relação à linha.
Informações dadas:
  • Linha infinita de carga com densidade linear \lambda.
  • Superfície gaussiana: um cilindro coaxial com a linha, comprimento L (o cilindro envolve a linha).
  • A distância de P à linha é dobrada; isto corresponde a aumentar o raio do cilindro de r para 2r (assumindo que P fica sobre a superfície cilíndrica).
    O que se pergunta: ao dobrar a distância (o raio do cilindro), o fluxo através do cilindro: (A) reduz-se à metade; (B) quadruplica; (C) permanece o mesmo; (D) reduz-se por um fator de 1/\mathrm{r}.

Passo 2

Apresentar a lei de Gauss que vamos usar e explicar cada termo.
A lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Explicando os símbolos:
  • \Phi é o fluxo elétrico total através da superfície fechada (unidade: \mathrm{N\cdot m^2/C} ou equivalente).
  • \mathbf{E} é o campo elétrico.
  • d\mathbf{A} é o vetor área diferencial apontando para fora da superfície.
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada.
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
Importante: a lei de Gauss afirma que o fluxo depende apenas da carga encerrada Q_{\text{int}}, não da forma da superfície nem da distância em si — desde que a superfície seja fechada e encerre a carga.

Passo 3

Escolher a superfície gaussiana e explorar a simetria (passo a passo didático).
  • Pela simetria de uma linha infinita de carga, o campo elétrico é radial (aponta para fora, perpendicular ao eixo) e tem módulo que depende apenas da distância radial r ao eixo.
  • O cilindro coaxial é a escolha natural: no casco curvo do cilindro o campo tem direção perpendicular à superfície e tem módulo constante sobre essa superfície; nas tampas (as faces circulares) o campo é paralelo ao eixo, logo \mathbf{E} é perpendicular ao vetor área das tampas e o fluxo nessas tampas é zero.
Portanto só precisamos considerar o fluxo através do casco lateral do cilindro. A área do casco é 2\pi r L e, como \mathbf{E} é constante em módulo sobre o casco e paralelo a d\mathbf{A}, o fluxo pelo casco é
\Phi = E(r)\cdot 2\pi r L.

Passo 4

Calcular Q_{\text{int}} e aplicar a lei de Gauss; obter expressão do fluxo.
A carga total encerrada pelo cilindro é a densidade linear multiplicada pelo comprimento:
Q_{\text{int}} = \lambda L.
Pela lei de Gauss,
\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Comparando com a expressão do passo anterior \Phi = E(r)\cdot 2\pi r L, pode-se também isolar E(r) e obter
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},
mas o ponto importante aqui é que a expressão de \Phi que acabamos de obter,
\Phi = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0},
não contém r: o raio cancela. Ou seja, o fluxo através do cilindro depende somente de \lambda e de L, não da distância radial r.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática — por que dobrar r não muda o fluxo.
  • Ao dobrar o raio r de r para 2r, duas coisas acontecem: o campo elétrico na superfície externa reduz-se (porque E\propto 1/r), mas a área do casco aumenta (porque a área é 2\pi r L, proporcional a r). Essas duas variações se cancelam quando se calcula o produto E\cdot 2\pi r L.
  • Pela lei de Gauss, o fluxo depende apenas da carga encerrada \lambda L, que não mudou ao mudar o raio (contanto que a superfície continue envolvendo a linha). Portanto o fluxo permanece o mesmo quando a distância é dobrada.
Dica para a prova: se der uma superfície fechada que envolve a carga, muitas vezes basta dizer "fluxo = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0" — não precisa calcular E nem a área se a pergunta for só sobre como o fluxo varia com r.

Resposta

C) Permanece o mesmo.

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