Both a gage and a manometer are attached to a gas tank to measure its pressure. If the reading on the pressure gage is 80 kPa , determine the distance between the two fluid levels of the manometer if the fluid is
water (
)
water (
Passo 1
O enunciado dá que o manômetro em U está ligado a um tanque de gás e que o manômetro lê com fluido água de densidade
. O manômetro tem um ramo aberto à atmosfera (nível mais alto à direita no desenho) e o outro ramo comunica-se com o gás. O manômetro mostra uma diferença de níveis entre o lado ligado ao gás e o lado aberto; essa diferença é
(o que nos pede para determinar). O manômetro foi acompanhado por um medidor (gauge) que indica a pressão do gás
.
Informações relevantes:
-
(leitura do gauge). - A coluna manométrica é de água com
. - A gravidade vale
. - O ramo oposto do manômetro está aberto à atmosfera, então a pressão naquele topo é a pressão atmosférica
.
O que queremos: encontrar a distância vertical
entre os dois níveis na coluna de água que corresponde à diferença de pressão
.
Passo 2
Entendimento físico e princípio a usar (explicado passo a passo, sem pular):
- Um manômetro em U transmite pressão do gás até um nível na coluna; a pressão exercida pelo gás desloca o líquido, produzindo diferença de altura entre os dois ramos.
- Em um mesmo fluido contínuo e em equilíbrio, a pressão em dois pontos que estão no mesmo nível horizontal é a mesma (mesma profundidade do mesmo fluido fornece mesma pressão estática).
- Por isso, podemos escolher dois pontos na coluna (um no ramo ligado ao gás e outro no ramo aberto) localizados à mesma profundidade no líquido e escrever que as pressões nesses pontos são iguais, relacionando assim
, e o termo hidrostático .
Passo 3
Formulação matemática do equilíbrio hidrostático (apresentando a fórmula e explicando cada símbolo):
- A variação de pressão com profundidade em um fluido incompressível é dada por:
onde
é a diferença de pressão entre dois pontos no fluido,
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade e
é a diferença vertical entre esses pontos (positiva para profundidade maior).
- No nosso caso, a diferença entre a pressão do gás e a pressão atmosférica é suportada pela coluna de água de altura
. Assim:
Aqui:
-
é a pressão no interior do tanque (dada pelo gauge: ), -
é a pressão atmosférica (o ramo direito está aberto a ), -
é a densidade da água, -
é a diferença de níveis que queremos.
Passo 4
Interpretação do enunciado sobre leitura do gauge:
- Importante: a leitura do gauge
é a pressão relativa ao ambiente (gauge pressure), isto é, . Portanto no nosso balanço já podemos usar diretamente . - Logo a equação simplifica para:
Passo 5
Isolando
e substituindo valores (faça as contas passo a passo, unidades em SI):
- Primeiro escrevo a equação para
:
Como
,
e
, substituo:
Passo 6
Cálculo numérico final (detalhando a divisão):
- Calculo o denominador:
- Agora divido:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos
.