Both a gage and a manometer are attached to a gas tank to measure its pressure. If the reading on the pressure gage is 80 kPa , determine the distance between the two fluid levels of the manometer if the fluid is
water ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} )

Passo 1

O enunciado dá que o manômetro em U está ligado a um tanque de gás e que o manômetro lê com fluido água de densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. O manômetro tem um ramo aberto à atmosfera (nível mais alto à direita no desenho) e o outro ramo comunica-se com o gás. O manômetro mostra uma diferença de níveis entre o lado ligado ao gás e o lado aberto; essa diferença é h (o que nos pede para determinar). O manômetro foi acompanhado por um medidor (gauge) que indica a pressão do gás P_g = 80\\ \mathrm{kPa}.
Informações relevantes:
  • P_g = 80\\ \mathrm{kPa} (leitura do gauge).
  • A coluna manométrica é de água com \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • A gravidade vale g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O ramo oposto do manômetro está aberto à atmosfera, então a pressão naquele topo é a pressão atmosférica P_{atm}.
O que queremos: encontrar a distância vertical h entre os dois níveis na coluna de água que corresponde à diferença de pressão P_g.

Passo 2

Entendimento físico e princípio a usar (explicado passo a passo, sem pular):
  • Um manômetro em U transmite pressão do gás até um nível na coluna; a pressão exercida pelo gás desloca o líquido, produzindo diferença de altura entre os dois ramos.
  • Em um mesmo fluido contínuo e em equilíbrio, a pressão em dois pontos que estão no mesmo nível horizontal é a mesma (mesma profundidade do mesmo fluido fornece mesma pressão estática).
  • Por isso, podemos escolher dois pontos na coluna (um no ramo ligado ao gás e outro no ramo aberto) localizados à mesma profundidade no líquido e escrever que as pressões nesses pontos são iguais, relacionando assim P_g, P_{atm} e o termo hidrostático \rho g h.

Passo 3

Formulação matemática do equilíbrio hidrostático (apresentando a fórmula e explicando cada símbolo):
  • A variação de pressão com profundidade em um fluido incompressível é dada por:
\Delta P = \rho g \Delta z,
onde \Delta P é a diferença de pressão entre dois pontos no fluido, \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e \Delta z é a diferença vertical entre esses pontos (positiva para profundidade maior).
  • No nosso caso, a diferença entre a pressão do gás e a pressão atmosférica é suportada pela coluna de água de altura h. Assim:
P_g - P_{atm} = \rho g h.
Aqui:
  • P_g é a pressão no interior do tanque (dada pelo gauge: 80\\ \mathrm{kPa}),
  • P_{atm} é a pressão atmosférica (o ramo direito está aberto a P_{atm}),
  • \rho é a densidade da água,
  • h é a diferença de níveis que queremos.

Passo 4

Interpretação do enunciado sobre leitura do gauge:
  • Importante: a leitura do gauge P_g=80\\ \mathrm{kPa} é a pressão relativa ao ambiente (gauge pressure), isto é, P_g - P_{atm} = 80\\ \mathrm{kPa}. Portanto no nosso balanço já podemos usar diretamente P_g - P_{atm} = 80\\ \mathrm{kPa}.
  • Logo a equação simplifica para:
80\\ \mathrm{kPa} = \rho g h.

Passo 5

Isolando h e substituindo valores (faça as contas passo a passo, unidades em SI):
  • Primeiro escrevo a equação para h:
h = \frac{P_g - P_{atm}}{\rho g}.
Como P_g - P_{atm} = 80\\ \mathrm{kPa} = 80\,000\\ \mathrm{Pa}, \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, substituo:
h = \frac{80\,000\\ \mathrm{Pa}}{1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}}.

Passo 6

Cálculo numérico final (detalhando a divisão):
  • Calculo o denominador:
1000\times 9{,}81 = 9{,}810\\ \mathrm{N/m^3} = 9{,}810\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Agora divido:
h = \frac{80\,000}{9{,}810}\\ \mathrm{m} \approx 8{,}1556\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos h \approx 8{,}16\\ \mathrm{m}.

Resposta

h=8{,}16\\ \mathrm{m}

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