3-33 Consider a 1.8-\mathrm{m}-tall man standing vertically in water and completely submerged in a pool. Determine the difference between the pressures acting at the head and at the toes of this man, in kPa .

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos. O enunciado pede a diferença entre as pressões nos pés e na cabeça de um homem de altura 1{,}8\\ \mathrm{m} totalmente submerso. Dados fornecidos (ou que assumimos razoavelmente para água doce): altura do homem h=1{,}8\\ \mathrm{m} , densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor usual para água doce) e aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Queremos a diferença de pressão \Delta p = p_{\text{pés}} - p_{\text{cabeça}}éç em kPa.

Passo 2

Apresentando a fórmula que descreve a pressão em um líquido em repouso. A pressão a uma profundidade y abaixo da superfície é dada por
p = p_0 + \rho g y,
onde:
  • p é a pressão no ponto considerado (em pascal, \mathrm{Pa});
  • p_0 é a pressão na superfície do líquido (normalmente a pressão atmosférica);
  • \rho é a densidade do líquido (em \mathrm{kg/m^3});
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2});
  • y é a profundidade abaixo da superfície (em \mathrm{m}).
Explicação intuitiva e derivação curta (sem cálculo diferencial): imagine uma coluna de água de área A e altura y. O peso dessa coluna é \rho A y g. Esse peso, dividido pela área A, dá a pressão adicional sobre a base da coluna: \rho g y. Por isso a pressão aumenta linearmente com a profundidade.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso para obter a diferença de pressão entre pés e cabeça. Seja y_{\text{pés}}é a profundidade dos pés e y_{\text{cabeça}}ç a profundidade da cabeça; então as pressões são
p_{\text{pés}} = p_0 + \rho g y_{\text{pés}},\qquad p_{\text{cabeça}} = p_0 + \rho g y_{\text{cabeça}}.ééçç
Subtraindo, o termo p_0 (pressão na superfície) cancela:
\Delta p = p_{\text{pés}} - p_{\text{cabeça}} = \rho g (y_{\text{pés}} - y_{\text{cabeça}}).éçéç
A diferença de profundidade entre pés e cabeça é exatamente a altura do homem, portanto
y_{\text{pés}} - y_{\text{cabeça}} = h = 1{,}8\\ \mathrm{m}.éç
Assim a fórmula útil é
\Delta p = \rho g h.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo e unidades. Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e h=1{,}8\\ \mathrm{m}:
\Delta p = 1000 \times 9{,}8 \times 1{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Primeiro 1000\times 9{,}8 = 9800. Depois 9800\times 1{,}8 = 17640. Então
\Delta p = 17640\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para quilopascal ( 1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa}):
\Delta p = \frac{17640}{1000}\\ \mathrm{kPa} = 17{,}64\\ \mathrm{kPa}.
Observação rápida: se usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} \Delta p\approx 17{,}66\\ \mathrm{kPa}; a diferença é desprezível para este problema de prova.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova. A diferença de pressão entre os pés e a cabeça não depende da pressão atmosférica nem da profundidade absoluta, apenas da altura vertical entre os pontos. Em provas, memorize a fórmula \Delta p=\rho g \Delta h; aqui \Delta h é a distância vertical entre os dois pontos (1,8 m). Respire fundo: a conta é curta e direta!

Resposta

17{,}64\\ \mathrm{kPa}

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