3-33 Consider a
-tall man standing vertically in water and completely submerged in a pool. Determine the difference between the pressures acting at the head and at the toes of this man, in kPa .
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos. O enunciado pede a diferença entre as pressões nos pés e na cabeça de um homem de altura
totalmente submerso. Dados fornecidos (ou que assumimos razoavelmente para água doce):
altura do homem
, densidade da água
(valor usual para água doce) e aceleração da gravidade
. Queremos a diferença de pressão
em kPa.
Passo 2
Apresentando a fórmula que descreve a pressão em um líquido em repouso. A pressão a uma profundidade
abaixo da superfície é dada por
onde:
-
é a pressão no ponto considerado (em pascal, ); -
é a pressão na superfície do líquido (normalmente a pressão atmosférica); -
é a densidade do líquido (em ); -
é a aceleração da gravidade (em ); -
é a profundidade abaixo da superfície (em ).
Explicação intuitiva e derivação curta (sem cálculo diferencial): imagine uma coluna de água de área
e altura
. O peso dessa coluna é
. Esse peso, dividido pela área
, dá a pressão adicional sobre a base da coluna:
. Por isso a pressão aumenta linearmente com a profundidade.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso para obter a diferença de pressão entre pés e cabeça. Seja
a profundidade dos pés e
a profundidade da cabeça; então as pressões são
Subtraindo, o termo
(pressão na superfície) cancela:
A diferença de profundidade entre pés e cabeça é exatamente a altura do homem, portanto
Assim a fórmula útil é
Passo 4
Cálculo numérico passo a passo e unidades. Substituindo
,
e
:
Primeiro
. Depois
. Então
Convertendo para quilopascal (
):
Observação rápida: se usar
dá
; a diferença é desprezível para este problema de prova.
Passo 5
Interpretação final e dica de prova. A diferença de pressão entre os pés e a cabeça não depende da pressão atmosférica nem da profundidade absoluta, apenas da altura vertical entre os pontos. Em provas, memorize a fórmula
; aqui
é a distância vertical entre os dois pontos (1,8 m). Respire fundo: a conta é curta e direta!