28 Mostre que a a transformação
D: Pn & Pn f & mapsto f^prime
onde f é um polinômio de grau n e f^prime é a derivada de f que também é um polinômio.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial Pn de todos os polinômios de grau <= n e a transformação
D: Pnto Pn, fmapsto f',
onde f' é a derivada de f. Queremos mostrar que D é uma transformação linear, ou seja, que para quaisquer f,gin Pn e escalar alpha valem
  1. D(f+g)=D(f)+D(g),
  2. D(alpha f)=alpha,D(f),
    e que de fato D(f)in Pn.

Passo 2

Verificação da aditividade: para f,gin Pn temos
D(f+g)=(f+g)'=f'+g' = D(f)+D(g)
Aqui usamos a propriedade básica da derivada de soma de funções.

Passo 3

Verificação da homogeneidade: para escalar alpha e fin Pn
D(alpha f)=(alpha f)'=alpha,f' = alpha,D(f)
Isto vem da regra da derivada de constante vezes função.

Passo 4

Verificação do codomínio: se f é um polinômio de grau <= n, então f' é um polinômio de grau <= n-1. Logo f'in Pn e D realmente leva Pn em Pn.

Resposta

A transformação Dcolon Pnto Pn, fmapsto f', satisfaz
D(f+g)=D(f)+D(g), D(alpha f)=alpha,D(f),
e tem imagem em Pn. Portanto, D é uma transformação linear em Pn.

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