28 Mostre que a a transformação
onde
é um polinômio de grau
e
é a derivada de
que também é um polinômio.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todos os polinômios de grau
e a transformação
onde
é a derivada de
. Queremos mostrar que
é uma transformação linear, ou seja, que para quaisquer
e escalar
valem
-
, -
,
e que de fato.
Passo 2
Verificação da aditividade: para
temos
Aqui usamos a propriedade básica da derivada de soma de funções.
Passo 3
Verificação da homogeneidade: para escalar
e
Isto vem da regra da derivada de constante vezes função.
Passo 4
Verificação do codomínio: se
é um polinômio de grau
, então
é um polinômio de grau
. Logo
e
realmente leva
em
.
Resposta
A transformação
,
, satisfaz
e tem imagem em
. Portanto,
é uma transformação linear em
.