30 Seja T: R^3 R^3 a transformação linear que é a projeção ortogonal sobre vetor (2,-2,1). Encontre o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^3toR^3 é a projeção ortogonal de qualquer vetor x sobre o vetor
v = (2,-2,1)
O que precisamos achar é o núcleo de T, ou seja, o conjunto de todos os xinR^3 tais que T(x)=0.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de x em v. Se
xinR^3, v=(2,-2,1),
então
T(x)=projv(x) =lang<= x,vrang<=lang<= v,vrang<=;v,
onde lang<= x,vrang<= é o produto interno usual em R^3.

Passo 3

Pelo item anterior, T(x)=0 se, e somente se, o fator escalar for zero:
lang<= x,vrang<=lang<= v,vrang<==0 Long<=ftrightarrow lang<= x,vrang<= = 0
Ou seja, x deve ser ortogonal a v.

Passo 4

Escrevendo x=(x,y,z) e v=(2,-2,1), a condição lang<= x,vrang<==0 vira
2x -2y + z = 0
Logo o núcleo de T é o conjunto de todos os (x,y,z) que satisfazem essa equação.

Resposta

ker(T) =l(x,y,z)inR^3 mid 2x -2y + z = 0r

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