30 Seja
a transformação linear que é a projeção ortogonal sobre vetor
. Encontre o núcleo de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é a projeção ortogonal de qualquer vetor
sobre o vetor
O que precisamos achar é o núcleo de
, ou seja, o conjunto de todos os
tais que
.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de
em
. Se
então
onde
é o produto interno usual em
.
Passo 3
Pelo item anterior,
se, e somente se, o fator escalar for zero:
Ou seja,
deve ser ortogonal a
.
Passo 4
Escrevendo
e
, a condição
vira
Logo o núcleo de
é o conjunto de todos os
que satisfazem essa equação.