1.28 Ondas sonoras esféricas são emitidas em todas as direções a partir de uma fonte puntiforme que irradia energia com potência P. A intensidade I desta onda sonora é medida a uma distância r da fonte e é dada pela relação
I=\frac{P}{4 \pi r^{2}} .
Abaixo você encontra valores de P e r medidos em uma experiência.
\mathrm{P}(\mathrm{M}) 25,0 \pm 0,3 24,5 \pm 0,3 24,5 \pm 0,3 25,5 \pm 0,3 25,5 \pm 0,3
\mathrm{r}(\mathrm{m}) 2,5000 \pm 0,0005 2,5005 \pm 0,0005 2,5000 \pm 0,0005 2,4992 \pm 0,0005 2,4993 \pm 0,0005
Para os valores da tabela, determine:
a) os valores mais prováveis de P e de r;
b) o erro aleatório provável de P e de r;
c) o valor da intensidade sonora, juntamente com o seu erro propagado, a partir dos valores determinados nos itens anteriores.
d) Escreva os resultados obtidos para P, r e I segundo a teoria dos erros.

Passo 1

O enunciado dá medições repetidas de potência P e de distância r, com erros instrumentais indicados em cada medida. Perguntas:
  • (a) Determinar os valores mais prováveis (ou seja, as médias) de P e de r.
  • (b) Determinar o erro aleatório provável de P e de r.
  • (c) Calcular a intensidade sonora I usando \displaystyle I=\frac{P}{4\pi r^{2}} com o erro propagado resultante.
  • (d) Expressar P, r e I segundo a teoria dos erros.
Dados (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Para P: 25{,}0\pm0{,}3, 24{,}5\pm0{,}3, 24{,}5\pm0{,}3, 25{,}5\pm0{,}3, 25{,}5\pm0{,}3.
  • Para r (em metros): 2{,}5000\pm0{,}0005, 2{,}5005\pm0{,}0005, 2{,}5000\pm0{,}0005, 2{,}4992\pm0{,}0005, 2{,}4993\pm0{,}0005.
Observação: cada medida já traz um erro instrumental (leitura) indicado, que trataremos depois em conjunto com o erro aleatório experimental.

Passo 2

Cálculo dos valores mais prováveis (médias aritméticas). Lembrete rápido: a média de n medidas x_i é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Para P:
\bar{P}=\frac{25{,}0+24{,}5+24{,}5+25{,}5+25{,}5}{5}=\frac{125{,}0}{5}=25{,}0.
Para r:
\bar{r}=\frac{2{,}5000+2{,}5005+2{,}5000+2{,}4992+2{,}4993}{5}=\frac{12{,}4990}{5}=2{,}4998\\ \mathrm{m}.
Comentário encorajador: ótimo — as médias ficaram simples!

Passo 3

Cálculo do erro aleatório provável. Vou primeiro explicar as duas grandezas importantes:
  • Desvio padrão amostral s: mede a dispersão das medições individuais em torno da média. Fórmula:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
  • Erro da média (desvio padrão da média), que é o erro aleatório provável da média:
\sigma_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicação informal: s diz quão espalhadas estão as medidas; \sigma_{\bar{x}} diz quanto a média estimada pode variar se repetirmos o conjunto de n medições.
Calculemos para P.
Diferenças em relação à média: 0{,}0, -0{,}5, -0{,}5, +0{,}5, +0{,}5.
Quadrados e soma: 0^2+(-0{,}5)^2+(-0{,}5)^2+(0{,}5)^2+(0{,}5)^2=1{,}0.
s_P=\sqrt{\frac{1{,}0}{5-1}}=\sqrt{\frac{1{,}0}{4}}=0{,}5.
\sigma_{\bar{P}}=\frac{s_P}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}5}{\sqrt{5}}=0{,}2236\\ (\text{aprox.}).
Agora para r. Primeiro calculei as diferenças x_i-\bar{r}: +0{,}0002,\\\ +0{,}0007,\\\ +0{,}0002,\\\ -0{,}0006,\\\ -0{,}0005.
Quadrados e soma (valores em m^2): soma =1{,}18\times10^{-6}.
s_r=\sqrt{\frac{1{,}18\times10^{-6}}{4}}=\sqrt{2{,}95\times10^{-7}}=5{,}436\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
\sigma_{\bar{r}}=\frac{s_r}{\sqrt{5}}=\frac{5{,}436\times10^{-4}}{\sqrt{5}}=2{,}432\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Interpretando: \sigma_{\bar{P}} e \sigma_{\bar{r}} são os erros aleatórios prováveis das médias.

Passo 4

Combinação do erro aleatório com o erro instrumental. Explicação: cada medida traz um erro instrumental (indicado no enunciado). A teoria dos erros recomenda combinar erros independentes em quadratura para obter o erro total na média:
\sigma_{\text{total}}=\sqrt{\sigma_{\text{instr}}^{2}+\sigma_{\text{aleat}}^{2}}.
Aplicando:
Para P: \sigma_{\text{instr}}=0{,}3 (dado) e \sigma_{\bar{P}}=0{,}2236.
\sigma_P^{\text{(total)}}=\sqrt{0{,}3^{2}+0{,}2236^{2}} =\sqrt{0{,}09+0{,}05} =\sqrt{0{,}138} =0{,}3717\\ (\text{aprox.}).
Para r: \sigma_{\text{instr}}=0{,}0005 e \sigma_{\bar{r}}=2{,}432\times10^{-4}.
\sigma_r^{\text{(total)}}=\sqrt{(0{,}0005)^{2}+(2{,}432\times10^{-4})^{2}} =\sqrt{2{,}5\times10^{-7}+5{,}915\times10^{-8}} =\sqrt{3{,}0915\times10^{-7}} =5{,}551\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Arredondamentos: mais tarde vamos ajustar algarismos significativos. Por ora, temos os desvios totais.

Passo 5

Cálculo de I usando os valores mais prováveis. Fórmula:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Substituindo \bar{P}=25{,}0 e \bar{r}=2{,}4998\\ \mathrm{m}:
r^{2}=(2{,}4998)^{2}=6{,}24900004\\ \mathrm{m}^{2}
4\pi r^{2}=4\pi\cdot6{,}24900004\approx78{,}52725047
I=\frac{25{,}0}{78{,}52725047}\approx0{,}318363.
Breve comentário: se r fosse exatamente 2{,}5 e P=25, daria I=1/\pi\approx0{,}31831; estamos muito próximos disso.

Passo 6

Propagação do erro em I. Método e fórmula: quando I depende de variáveis independentes P e r, e os erros são pequenos, usa-se aproximação linear com derivadas parciais (propagação por quadratura). Para
I=I(P,r)=\frac{P}{4\pi r^{2}},
as derivadas parciais são
\frac{\partial I}{\partial P}=\frac{1}{4\pi r^{2}},\qquad \frac{\partial I}{\partial r}=-\frac{2P}{4\pi r^{3}}=-\frac{P}{2\pi r^{3}}.
A variância de I aproximada é
\sigma_{I}^{2}=\left(\frac{\partial I}{\partial P}\right)^{2}\sigma_{P}^{2} +\left(\frac{\partial I}{\partial r}\right)^{2}\sigma_{r}^{2},
o que leva, após simplificação, à forma prática (usada com frequência):
\left(\frac{\sigma_I}{I}\right)^{2}=\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2}+\left(2\frac{\sigma_r}{r}\right)^{2},
porque I\propto P e I\propto r^{-2}.
Agora substituímos os valores totais \sigma_P^{\text{(total)}} e \sigma_r^{\text{(total)}} calculados no Passo 4.
Valores numéricos:
\frac{\sigma_P}{P}=\frac{0{,}3717}{25{,}0}=0{,}014868\quad(\text{aprox.})
2\frac{\sigma_r}{r}=2\cdot\frac{5{,}551\times10^{-4}}{2{,}4998}=2\cdot0{,}00022205=0{,}0004441.
Portanto
\left(\frac{\sigma_I}{I}\right)^{2}=0{,}014868^{2}+0{,}0004441^{2}=2{,}2105\times10^{-4}+1{,}9736\times10^{-7}=2{,}2125\times10^{-4}.
\frac{\sigma_I}{I}=\sqrt{2{,}2125\times10^{-4}}=0{,}014872.
\sigma_I=I\cdot0{,}014872=0{,}318363\cdot0{,}014872=0{,}004737\\ (\text{aprox.}).
Comentário: a contribuição do erro em P domina (maior efeito) — faz sentido, pois o erro relativo em P é muito maior que o provocado por r.

Passo 7

Arredondamento e escrita “segundo a teoria dos erros”. Regra prática: normalmente a incerteza é dada com 1 algarismo significativo (às vezes 2 se o primeiro dígito for 1). Depois, a medida é arredondada para a mesma ordem do erro.
Resultados brutos:
  • \bar{P}=25{,}0, \sigma_P^{\text{(total)}}=0{,}3717 → incerteza dominante: 0{,}4 (arredondando para 1 algarismo significativo).
    Assim escreve-se P=25{,}0\pm0{,}4.
  • \bar{r}=2{,}4998\\ \mathrm{m}, \sigma_r^{\text{(total)}}=5{,}551\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
    Arredondando a incerteza para um algarismo: 0{,}0006\\ \mathrm{m}. Ajustando a média com a mesma posição decimal: r=2{,}4998\pm0{,}0006\\ \mathrm{m}.
  • I=0{,}318363, \sigma_I=0{,}004737 → arredondando a incerteza para 0{,}005. Ajustando I para as mesmas casas decimais: I=0{,}318\pm0{,}005.
Posso também expressar a unidade de I: se P estiver em unidades de potência (por exemplo watts), então I fica em unidades de potência por metro quadrado (por exemplo \mathrm{W\,m^{-2}}). Como o enunciado não explicitou a unidade de P além do cabeçalho, escrevo a unidade de r e indico que I tem unidades derivadas de P/\mathrm{m}^2.

Passo 8

Resumo final (forma pedida “segundo a teoria dos erros”), com as quantidades e incertezas arredondadas apropriadamente:
  • P=25{,}0\pm0{,}4 (mesma unidade indicada para P na tabela).
  • r=2{,}4998\pm0{,}0006\\ \mathrm{m}.
  • I=0{,}318\pm0{,}005 (unidades: unidades de P/\mathrm{m}^{2}, p.ex. \mathrm{W\,m^{-2}} se P estiver em \mathrm{W}).
Força aí — está feito! Se quiser, eu mostro esses mesmos resultados com as incertezas separando componente instrumental e aleatória, ou com 2 algarismos significativos nas incertezas — do jeito que você preferir.

Resposta

P=25{,}0\pm0{,}4
r=2{,}4998\pm0{,}0006\\ \mathrm{m}
I=0{,}318\pm0{,}005 (unidades de P/\mathrm{m}^{2})

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