1.28 Ondas sonoras esféricas são emitidas em todas as direções a partir de uma fonte puntiforme que irradia energia com potência P. A intensidade I desta onda sonora é medida a uma distância r da fonte e é dada pela relação
I=\frac{P}{4 \pi r^{2}} .
Abaixo você encontra valores de P e r medidos em uma experiência.
\mathrm{P}(\mathrm{M})
25,0 \pm 0,3
24,5 \pm 0,3
24,5 \pm 0,3
25,5 \pm 0,3
25,5 \pm 0,3
\mathrm{r}(\mathrm{m})
2,5000 \pm 0,0005
2,5005 \pm 0,0005
2,5000 \pm 0,0005
2,4992 \pm 0,0005
2,4993 \pm 0,0005
Para os valores da tabela, determine:
a) os valores mais prováveis de P e de r;
b) o erro aleatório provável de P e de r;
c) o valor da intensidade sonora, juntamente com o seu erro propagado, a partir dos valores determinados nos itens anteriores.
d) Escreva os resultados obtidos para P, r e I segundo a teoria dos erros.
Passo 1
O enunciado dá medições repetidas de potência P e de distância r, com erros instrumentais indicados em cada medida. Perguntas:
(a) Determinar os valores mais prováveis (ou seja, as médias) de P e de r.
(b) Determinar o erro aleatório provável de P e de r.
(c) Calcular a intensidade sonora I usando \displaystyle I=\frac{P}{4\pi r^{2}} com o erro propagado resultante.
(d) Expressar P, r e I segundo a teoria dos erros.
Dados (peguei estes números da tabela do enunciado):
Para P: 25{,}0\pm0{,}3, 24{,}5\pm0{,}3, 24{,}5\pm0{,}3, 25{,}5\pm0{,}3, 25{,}5\pm0{,}3.
Para r (em metros): 2{,}5000\pm0{,}0005, 2{,}5005\pm0{,}0005, 2{,}5000\pm0{,}0005, 2{,}4992\pm0{,}0005, 2{,}4993\pm0{,}0005.
Observação: cada medida já traz um erro instrumental (leitura) indicado, que trataremos depois em conjunto com o erro aleatório experimental.
Passo 2
Cálculo dos valores mais prováveis (médias aritméticas). Lembrete rápido: a média de n medidas x_i é
Erro da média (desvio padrão da média), que é o erro aleatório provável da média:
\sigma_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicação informal: s diz quão espalhadas estão as medidas; \sigma_{\bar{x}} diz quanto a média estimada pode variar se repetirmos o conjunto de n medições.
Calculemos para P.
Diferenças em relação à média: 0{,}0, -0{,}5, -0{,}5, +0{,}5, +0{,}5.
Quadrados e soma: 0^2+(-0{,}5)^2+(-0{,}5)^2+(0{,}5)^2+(0{,}5)^2=1{,}0.
Agora para r. Primeiro calculei as diferenças x_i-\bar{r}: +0{,}0002,\\\ +0{,}0007,\\\ +0{,}0002,\\\ -0{,}0006,\\\ -0{,}0005.
Quadrados e soma (valores em m^2): soma =1{,}18\times10^{-6}.
Interpretando: \sigma_{\bar{P}} e \sigma_{\bar{r}} são os erros aleatórios prováveis das médias.
Passo 4
Combinação do erro aleatório com o erro instrumental. Explicação: cada medida traz um erro instrumental (indicado no enunciado). A teoria dos erros recomenda combinar erros independentes em quadratura para obter o erro total na média:
Breve comentário: se r fosse exatamente 2{,}5 e P=25, daria I=1/\pi\approx0{,}31831; estamos muito próximos disso.
Passo 6
Propagação do erro em I. Método e fórmula: quando I depende de variáveis independentes P e r, e os erros são pequenos, usa-se aproximação linear com derivadas parciais (propagação por quadratura). Para
Comentário: a contribuição do erro em P domina (maior efeito) — faz sentido, pois o erro relativo em P é muito maior que o provocado por r.
Passo 7
Arredondamento e escrita “segundo a teoria dos erros”. Regra prática: normalmente a incerteza é dada com 1 algarismo significativo (às vezes 2 se o primeiro dígito for 1). Depois, a medida é arredondada para a mesma ordem do erro.
Resultados brutos:
\bar{P}=25{,}0, \sigma_P^{\text{(total)}}=0{,}3717 → incerteza dominante: 0{,}4 (arredondando para 1 algarismo significativo).
Assim escreve-se P=25{,}0\pm0{,}4.
\bar{r}=2{,}4998\\ \mathrm{m}, \sigma_r^{\text{(total)}}=5{,}551\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Arredondando a incerteza para um algarismo: 0{,}0006\\ \mathrm{m}. Ajustando a média com a mesma posição decimal: r=2{,}4998\pm0{,}0006\\ \mathrm{m}.
I=0{,}318363, \sigma_I=0{,}004737 → arredondando a incerteza para 0{,}005. Ajustando I para as mesmas casas decimais: I=0{,}318\pm0{,}005.
Posso também expressar a unidade de I: se P estiver em unidades de potência (por exemplo watts), então I fica em unidades de potência por metro quadrado (por exemplo \mathrm{W\,m^{-2}}). Como o enunciado não explicitou a unidade de P além do cabeçalho, escrevo a unidade de r e indico que I tem unidades derivadas de P/\mathrm{m}^2.
Passo 8
Resumo final (forma pedida “segundo a teoria dos erros”), com as quantidades e incertezas arredondadas apropriadamente:
P=25{,}0\pm0{,}4 (mesma unidade indicada para P na tabela).
r=2{,}4998\pm0{,}0006\\ \mathrm{m}.
I=0{,}318\pm0{,}005 (unidades: unidades de P/\mathrm{m}^{2}, p.ex. \mathrm{W\,m^{-2}} se P estiver em \mathrm{W}).
Força aí — está feito! Se quiser, eu mostro esses mesmos resultados com as incertezas separando componente instrumental e aleatória, ou com 2 algarismos significativos nas incertezas — do jeito que você preferir.
Resposta
P=25{,}0\pm0{,}4 r=2{,}4998\pm0{,}0006\\ \mathrm{m} I=0{,}318\pm0{,}005 (unidades de P/\mathrm{m}^{2})